Macaulay Duration vs. Modified Duration

Macaulay-varaktighet och modifierad varaktighet används främst för att beräkna obligationernas löptider. Macaulay-varaktigheten beräknar den vägda genomsnittliga tiden innan en obligationsinnehavare skulle ta emot obligationens kassaflöden. Omvänt mäter modifierad varaktighet prisens känslighet för en obligation när det är en förändring i avkastningen till förfall.

Macaulay-längden

Macaulay-varaktigheten beräknas genom att multiplicera tidsperioden med den periodiska kupongutbetalningen och dividera det resulterande värdet med 1 plus den periodiska avkastningen som höjs till tid till förfall. Därefter beräknas värdet för varje period och läggs samman. Därefter läggs det resulterande värdet till det totala antalet perioder multiplicerat med parvärdet, dividerat med 1, plus den periodiska avkastningen som höjs till det totala antalet perioder. Därefter divideras värdet med det aktuella obligationspriset.

Macaulay Varaktighet = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Aktuell obligation pricwhere: C = periodisk kupongbetalning = periodisk avkastningM = obligationens förfallsvärde = obligationens varaktighet i perioder \ börja {inriktad} & \ text {Macaulay Duration} = \ frac {\ vänster (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ vänster (1 + y \ höger) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ vänster (1 + y \ höger) ^ n} \ höger)} {\ text {Aktuellt obligationspris}} \\ & \ textbf {där:} \\ & C = \ text {periodisk kupongbetalning} \\ & y = \ text {periodisk avkastning} \\ & M = \ text {obligationens förfallsvärde} \\ & n = \ text {obligationens varaktighet i perioder} \\ \ end {inriktad} Macaulay Varaktighet = Aktuellt obligationskurs (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) där: C = periodisk kupongbetalning = periodisk avkastningM = obligationens förfallsvärde = varaktighet av obligationer i perioder

En obligations pris beräknas genom att multiplicera kassaflödet med 1, minus 1, dividerat med 1, plus avkastning till förfall, höjt till antalet perioder dividerat med erforderlig avkastning. Det resulterande värdet läggs till parvärdet eller förfallsvärdet för obligationen dividerat med 1, plus avkastningen till förfall som höjs till antalet totalt antal perioder.

Antag till exempel Macaulay-varaktigheten för en femårsobligation med ett löptid på 5 000 USD och en kupongränta på 6% är 4, 87 år ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).

Den modifierade varaktigheten för denna obligation, med en avkastning till löptid på 6% för en kupongperiod, är 4, 59 år (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Om avkastningen till löptid därför ökar från 6% till 7%, obligationens varaktighet minskar med 0, 28 år (4, 87 - 4, 59).

Formeln för att beräkna den procentuella förändringen i priset på obligationen är förändringen i avkastningen multiplicerad med det negativa värdet på den modifierade varaktigheten multiplicerad med 100%. Denna resulterande procentuella förändring i obligationen, för en ränteökning på 1%, beräknas vara -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).

Den ändrade varaktigheten

Modifierad varaktighet = Macauley-varaktighet (1 + YTMn) där: YTM = avkastning till mognad \ börja {inriktad} & \ text {Modifierad varaktighet} = \ frac {\ text {Macauley-varaktighet}} {\ vänster (1 + \ frac { YTM} {n} \ höger)} \\ & \ textbf {där:} \\ & YTM = \ text {avkastning till mognad} \\ & n = \ text {antal kupongperioder per år} \ slut {justerad} Ändrad Varaktighet = (1 + nYTM) Macauley Varaktighet där: YTM = utbyte till mognad

Den modifierade varaktigheten är en justerad version av Macaulay-varaktigheten, som står för att ändra avkastning till löptid. Formeln för den modifierade varaktigheten är värdet på Macaulay-varaktigheten dividerat med 1, plus avkastningen till förfall, dividerat med antalet kupongperioder per år. Den modifierade varaktigheten bestämmer förändringarna i en obligationslängd och pris för varje procentuell förändring i avkastning till förfall.

Anta till exempel att en sexårig obligation har ett parvärde på 1 000 USD och en årlig kupongränta på 8%. Macaulay-varaktigheten beräknas vara 4, 99 år ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

Den modifierade varaktigheten för denna obligation, med en avkastning till löptid på 8% för en kupongperiod, är 4, 62 år (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Om avkastningen till löptid därför ökar från 8% till 9%, obligationens varaktighet minskar med 0, 37 år (4, 99 - 4, 62).

Formeln för att beräkna den procentuella förändringen i priset på obligationen är förändringen i avkastningen multiplicerad med det negativa värdet på den modifierade varaktigheten multiplicerad med 100%. Denna resulterande procentuella förändring i obligationen, för en räntehöjning från 8% till 9%, beräknas till -4, 62% ​​(0, 01 * - 4, 62 * 100%).

Därför, om räntorna stiger 1% över en natt, förväntas priset på obligationen sjunka 4, 62%.

De ändrade löptiderna och ränteswapparna

Den modifierade varaktigheten kan förlängas för att beräkna hur många år det skulle ta en ränteswap för att återbetala det pris som betalats för swap. Ett ränteswap är utbytet av en uppsättning kassaflöden för en annan och baseras på räntespecifikationer mellan parterna.

Den modifierade varaktigheten beräknas genom att dividera dollarvärdet för en ändring på en basispoäng för ett ränteswapbyte eller serie kassaflöden med nuvärdet av serien med kassaflöden. Värdet multipliceras sedan med 10 000. Den modifierade varaktigheten för varje serie av kassaflöden kan också beräknas genom att dividera dollarvärdet för en grundpunktsändring av serien av kassaflöden med det nominella värdet plus marknadsvärdet. Fraktionen multipliceras sedan med 10 000.

Den modifierade varaktigheten för båda benen måste beräknas för att beräkna den modifierade varaktigheten för ränteswapet. Skillnaden mellan de två modifierade löptiderna är den modifierade varaktigheten på ränteswapet. Formeln för den modifierade varaktigheten för ränteswapet är den modifierade varaktigheten för det mottagande benet minus den modifierade varaktigheten för det betalande benet.

Anta till exempel att bank A och bank B ingår ett ränteswap. Den modifierade varaktigheten för det mottagande benet på en byte beräknas som nio år och den modifierade varaktigheten för det betalande benet beräknas som fem år. Den resulterande modifierade varaktigheten för ränteswapet är fyra år (9 år - 5 år).

Jämför Macaulay-varaktighet och den modifierade varaktigheten

Eftersom Macaulay-varaktigheten mäter den vägda genomsnittliga tiden som en investerare måste ha en obligation tills nuvärdet av obligationens kassaflöden är lika med det belopp som betalas för obligationen, används det ofta av obligationsförvaltare som vill hantera obligationsportföljrisk med immuniseringsstrategier .

Däremot identifierar den modifierade varaktigheten hur mycket varaktigheten förändras för varje procentuell förändring i avkastningen samtidigt som man mäter hur mycket en förändring i räntorna påverkar priset på en obligation. Således kan den modifierade varaktigheten ge ett riskmått för obligationsinvesterare genom att ungefärliga hur mycket priset på en obligation kan sjunka med en räntehöjning. Det är viktigt att notera att obligationspriser och räntor har en omvänd relation till varandra.