Varaktighet och konvexitet för att mäta obligationerisk

Varaktighet och konvexitet är två verktyg som används för att hantera ränteexponering för ränteplaceringar. Varaktighet mäter obligationens känslighet för ränteförändringar. Konvexitet hänför sig till samspelet mellan en obligation och dess avkastning när den upplever förändringar i räntorna.

Med kupongobligationer förlitar investerare sig på en metrisk känd som varaktighet för att mäta en obligations priskänslighet för ränteförändringar. Eftersom en kupongobligation gör en serie betalningar under sin livstid, behöver ränteplaceringar sätt att mäta den genomsnittliga löptiden för ett obligationers utlovade kassaflöde, för att tjäna som en sammanfattande statistik över obligationens effektiva löptid. Längden uppnår detta genom att låta ränteplacerare mer effektivt mäta osäkerhet när de hanterar sina portföljer.

Key Takeaways

• Med kupongobligationer förlitar investerare sig på en metrisk så kallad ”varaktighet” för att mäta en obligations kurskänslighet för ränteförändringar.
• Med hjälp av ett gaphanteringsverktyg kan banker jämföra löptiderna för tillgångar och skulder och effektivt immunisera deras totala position från ränteförändringar.

Bondens varaktighet

1938 kallade den kanadensiska ekonomen Frederick Robertson Macaulay det effektiva löptidskonceptet för "obligationens" varaktighet. Därför föreslog han att denna varaktighet skulle beräknas som det vägda genomsnittet av tider till förfall för varje kupong, eller huvudbetalning, som görs av obligationen. Macaulays varaktighetsformel är följande:

D = ∑i = 1Tt ∗ C (1 + r) t + T ∗ F (1 + r) t∑i = 1TC (1 + r) t + F (1 + r) twhere: D = Bondens MacAulay varaktighetT = antalet perioder fram till förfall.i = den ith tidsperioden C = periodisk kupongbetalningr = periodisk avkastning till förfallF = nominellt värde vid löptid \ börja {inriktad} & D = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {t * C} {\ vänster (1 + r \ höger) ^ t}} + \ frac {T * F} {\ vänster (1 + r \ höger) ^ t}} {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {C} {\ vänster (1 + r \ höger) ^ t}} + \ frac {F} {\ vänster (1 + r \ höger) ^ t}} \\ \ textbf {var:} \\ & D = \ text {Obligationens MacAulay-varaktighet} \\ & T = \ text {antalet perioder fram till mognad} \\ & i = \ text {the} i ^ {th} \ text {tidsperiod} \\ & C = \ text {den periodiska kupongbetalningen} \\ & r = \ text {den periodiska avkastningen till förfall}} \\ & F = \ text {det nominella värdet vid förfall}} \\ \ end {inriktad} där: D = ∑i = 1T (1 + r) tC + (1 + r) tF ∑i = 1T (1 + r) tt ∗ C + (1 + r) tT ∗ F D = Obligationens MacAulay-varaktighet T = antalet av perioder fram till förfalli = den ith tidsperioden C = periodisk kupongbetalning = periodisk avkastning till förfallF = nominellt värde vid förfall ity

Varaktighet i ränteförvaltning

Varaktighet är avgörande för att hantera ränteportföljer av följande skäl:

1. Det är en enkel sammanfattande statistik över en portföljs effektiva genomsnittliga löptid.
2. Det är ett viktigt verktyg för att immunisera portföljer från ränterisk.
3. Den uppskattar en portföljs räntekänslighet.

Varaktighetsmetriken innehåller följande egenskaper:

• Varaktigheten för en nollkupongobligation motsvarar tid till löptid.
• Om du håller löptid konstant är en obligations löptid lägre när kupongräntan är högre på grund av effekterna av tidigt högre kupongbetalningar.
• Genom att hålla kupongräntan konstant ökar en obligationslängd i allmänhet med tiden till förfallodag. Men det finns undantag, liksom med instrument som djupdiskonterade obligationer, där varaktigheten kan minska med ökningar i löptider.
• Om du håller andra faktorer konstant är löptiden för kupongobligationer högre när obligationernas avkastning till förfall är lägre. För nollkupongobligationer är löptiden emellertid tid till förfall, oavsett avkastning till förfall.
• Varaktigheten för nivåperpetuity är (1 + y) / y. Till exempel, med en avkastning på 10%, kommer varaktighetens varaktighet som betalar $ 100 per år lika med 1, 10 / .10 = 11 år. Men med en avkastning på 8% kommer den att vara lika med 1, 08 / 0, 08 = 13, 5 år. Denna princip gör det uppenbart att mognad och varaktighet kan variera mycket. Fall i sak: evighetens löptid är oändlig, medan instrumentets varaktighet med en avkastning på 10% endast är 11 år. Det nuvärdeviktade kassaflödet tidigt i evighetens liv dominerar beräkningen av varaktighet. (Mer information om portföljhantering finns i Equity Portfolio Management Mechanics och Förbered dig för en karriär som Portfolio Manager .)

Varaktighet för Gap Management

Många banker uppvisar missförhållanden mellan tillgångs- och skulptid. Bankskulder, som främst är de insättningar som kunden är skyldiga, är i allmänhet på kort sikt med statistik med låg varaktighet. Däremot utgör en banks tillgångar huvudsakligen utestående kommersiella och konsumentlån eller inteckningar. Dessa tillgångar tenderar att vara av längre varaktighet, och deras värden är mer känsliga för ränteförändringar. I perioder där räntorna växer oväntat kan bankerna drabbas av drastiska minskningar av nettovärdet, om deras tillgångar sjunker ytterligare i värde än sina skulder.

En teknik som kallas gaphantering, utvecklad i slutet av 1970-talet och början av 1980-talet, är ett allmänt använt riskhanteringsverktyg, där bankerna försöker begränsa "klyftan" mellan tillgångar och skulder. Gaphantering förlitar sig starkt på inteckningar med justerbar ränta (ARM), som viktiga komponenter för att minska varaktigheten på portföljer av banktillgångar. Till skillnad från konventionella inteckningar sjunker ARM inte i värde när marknadsräntorna ökar, eftersom de räntor som de betalar är bundna till den aktuella räntan.

På den andra sidan av balansräkningen tjänar införandet av långfristiga bankcertifikat (CD) med fasta löptid för att förlänga bankernas skulder, vilket också bidrar till att minska löptidsgapet. (Läs mer om finansiella luckor i att spela gapen.)

Förstå Gap Management

Bankerna använder gaphantering för att jämföra löptiderna för tillgångar och skulder, vilket effektivt immuniserar deras totala position från ränteförändringar. I teorin är en banks tillgångar och skulder ungefär lika stora. Därför, om deras löptider också är lika, kommer alla förändringar i räntesatser att påverka värdet på tillgångar och skulder i samma grad, och ränteförändringar skulle följaktligen ha liten eller ingen slutlig effekt på nettovärdet. Därför kräver immunisering av nettovärdet en portföljvaraktighet, eller gap, av noll. (Läs Analys av bankens finansiella rapporter för mer information om banktillgångar och skulder.)

Institutioner med framtida fasta förpliktelser, såsom pensionsfonder och försäkringsbolag, skiljer sig från banker eftersom de verkar med ett öga mot framtida åtaganden. Till exempel är pensionsfonder skyldiga att hålla tillräckliga medel för att ge arbetstagarna ett inkomstflöde vid pensionering. När räntorna fluktuerar, gör också värdet på de tillgångar som fonden innehar och den takt som dessa tillgångar genererar inkomst. Därför kan portföljförvaltare vilja skydda (immunisera) det framtida ackumulerade värdet på fonden vid ett måldatum, mot ränteförändringar. Med andra ord skyddar immunisering tillgångar och skulder med varaktiga matchningar så att en bank kan uppfylla sina skyldigheter, oavsett ränteförändringar. (Läs mer om pensionsfondernas skyldigheter i Analysera pensionsrisk .)

Konvexitet i ränteförvaltning

Tyvärr har varaktigheten begränsningar när de används som ett mått på räntekänsligheten. Medan statistiken beräknar ett linjärt samband mellan pris- och avkastningsförändringar i obligationer, är faktiskt förhållandet mellan förändringar i pris och avkastning konvex.

I figur 1 representerar den krökta linjen prisändringen, med tanke på en förändring i avkastningen. Den raka linjen, tangent till kurvan, representerar den uppskattade prisändringen via varaktighetsstatistiken. Det skuggade området avslöjar skillnaden mellan varaktighetsuppskattningen och den faktiska prisrörelsen. Som indikerats, ju större förändring i räntor, desto större är felet vid uppskattningen av prisförändringen på obligationen.

Figur 1

Konvexitet, ett mått på krökningen av förändringarna i en obligation, i förhållande till förändringar i räntesatser, åtgärdar detta fel genom att mäta förändringen i varaktighet när räntorna fluktuerar. Formeln är som följer:

C = d2 (B (r)) B ∗ d ∗ r2 var: C = konvexitet B = bindningspricern = räntan = varaktighet \ börja {inriktad} & C = \ frac {d ^ 2 \ vänster (B \ vänster (r \ höger) \ höger)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {där:} \\ & C = \ text {konvexitet} \\ & B = \ text {obligationskursen} \\ & r = \ text {räntesatsen} \\ & d = \ text {varaktighet} \\ \ slut {inriktad} C = B ∗ d ∗ r2d2 (B (r)) där: C = konvexitet B = obligationsprisen = räntan = varaktighet

I allmänhet, desto högre kupong, desto lägre är konvexiteten, eftersom en 5% -lån är mer känslig för ränteförändringar än en 10% -obligation. På grund av samtalsfunktionen kommer konverterbara obligationer att visa negativ konvexitet om avkastningen faller för lågt, vilket innebär att varaktigheten kommer att minska när avkastningen minskar. Nollkupongobligationer har den högsta konvexiteten, där förhållandena endast är giltiga när de jämförda obligationerna har samma varaktighet och avkastning till förfall. Påpekat: en hög konvexitetsobligation är mer känslig för förändringar i räntor och bör följaktligen se större variationer i pris när räntorna rör sig.

Det motsatta gäller för obligationer med låg konvexitet, vars priser inte varierar lika mycket när räntorna förändras. När de är ritade på en tvådimensionell plott, bör detta förhållande skapa en lång sluttande U-form (följaktligen termen "konvex").

Lånekupong- och nollkupongobligationer, som tenderar att ha lägre avkastning, visar den högsta räntevolatiliteten. Tekniska termer innebär detta att den modifierade löptiden för obligationen kräver en större justering för att hålla jämna steg med den högre prisförändringen efter ränteförändringar. Lägre kupongräntor leder till lägre avkastning och lägre avkastning leder till högre grader av konvexitet.

(För att läsa om vissa risker som är förknippade med teckningsbara och andra obligationer, läs samtalsfunktioner: Bli inte fångad av vakt och företagsobligationer: En introduktion till kreditrisk .)

Poängen

Ständigt förändrade räntor skapar osäkerhet i räntebärande investeringar. Varaktighet och konvexitet låter investerare kvantifiera denna osäkerhet och hjälper dem att hantera sina ränteportföljer.

För ytterligare läsning om ränteplacering, se Skapa den moderna räntebärande portföljen och vanliga obligationsköp .