Utforska det exponentiellt viktade rörliga genomsnittet
Flyktighet är det vanligaste riskmåttet, men det finns i flera smaker. I en tidigare artikel visade vi hur man beräknar enkel historisk volatilitet. I den här artikeln kommer vi att förbättra den enkla volatiliteten och diskutera det exponentiellt viktade rörliga genomsnittet (EWMA).
Historisk kontra implicit volatilitet
Låt oss först sätta denna metrisk i lite perspektiv. Det finns två breda tillvägagångssätt: historisk och implicit (eller implicit) flyktighet. Den historiska metoden antar att förflutna är prolog; vi mäter historien i hopp om att det är förutsägbart. Implicerad volatilitet å andra sidan ignorerar historien; den löser den volatilitet som marknadspriserna medför. Den hoppas att marknaden vet bäst och att marknadspriset innehåller, även om det implicit, en konsensusuppskattning av volatilitet.
Om vi fokuserar på bara de tre historiska strategierna (till vänster ovan), har de två steg gemensamt:
- Beräkna serien med periodiska avkastningar
- Använd ett viktningsschema
Först beräknar vi den periodiska avkastningen. Det är vanligtvis en serie dagliga avkastningar där varje avkastning uttrycks i kontinuerligt sammansatta termer. För varje dag tar vi den naturliga loggen över förhållandet mellan aktiekurser (dvs. priset idag dividerat med priset igår osv.).
ui = lnsisi − 1 var: ui = retur på dagen isi = aktiekurs på dagen isi − 1 = aktiekurs dagen före dagen i \ börja {inriktad} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {var:} \\ & u_i = \ text {returnera dagen} i \\ & s_i = \ text {aktiekurs på dagen} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {aktiekurs dagen före dagen} i \\ \ slut {inriktad} ui = lnsi − 1 si där: ui = retur på dagen isi = aktiekurs på dagen isi − 1 = aktiekurs dagen före dag i
Detta ger en serie dagliga avkastningar, från u i till u im, beroende på hur många dagar (m = dagar) vi mäter.
Det tar oss till det andra steget: Det är här de tre tillvägagångssätten skiljer sig åt. I den föregående artikeln visade vi att under ett par acceptabla förenklingar är den enkla variansen medelvärdet av de kvadratiska returerna:
varians = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 var: m = antal uppmätta dagarn = dayiu = skillnad i avkastning från genomsnittlig avkastning \ begin {inriktad} & \ text {varians} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {var:} \\ & m = \ text {antal uppmätta dagar} \\ & n = \ text {dag} i \\ & u = \ text {skillnad i avkastning från genomsnittlig avkastning} \\ \ end {inriktad} varians = σn2 = m1 Σi = 1 m un − 12 där: m = antal uppmätta dagar n = dayiu = skillnad avkastning från genomsnittlig avkastning
Lägg märke till att detta summerar var och en av de periodiska returerna och delar sedan det totala antalet dagar eller observationer (m). Så det är egentligen bara ett genomsnitt av den kvadratiska periodiska avkastningen. Sagt på ett annat sätt, varje kvadratisk retur får samma vikt. Så om alfa (a) är en viktningsfaktor (specifikt a = 1 / m), ser en enkel varians ut något så här:
EWMA förbättras med enkel variation
Svagheten med denna metod är att alla avkastningar tjänar samma vikt. Gårsdagens (mycket senaste) avkastning har inte mer inflytande på variationen än förra månadens avkastning. Detta problem åtgärdas genom att använda det exponentiellt viktade rörliga genomsnittet (EWMA), där nyare avkastningar har större vikt på variansen.
Det exponentiellt viktade rörliga genomsnittet (EWMA) introducerar lambda, som kallas utjämningsparametern. Lambda måste vara mindre än en. Under det villkoret, i stället för lika vikter, viktas varje kvadratåtergång med en multiplikator enligt följande:
Till exempel tenderar RiskMetrics TM , ett företag för finansiell riskhantering, att använda en lambda på 0, 94, eller 94%. I detta fall vägs den första (senaste) kvadratiska periodiska avkastningen med (1-0, 94) (. 94) 0 = 6%. Nästa kvadratiska retur är helt enkelt en lambda-multipel av den tidigare vikten; i detta fall 6% multiplicerat med 94% = 5, 64%. Och den tredje föregående dagens vikt är lika med (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
Det är betydelsen av "exponentiell" i EWMA: varje vikt är en konstant multiplikator (dvs. lambda, som måste vara mindre än en) av föregående dags vikt. Detta säkerställer en variation som är viktad eller partisk mot nyare data. Skillnaden mellan helt enkelt volatilitet och EWMA för Google visas nedan.
Enkel volatilitet väger effektivt varje periodisk avkastning med 0, 196% som visas i kolumn O (vi hade två års dagliga aktiekursuppgifter. Det är 509 dagliga avkastningar och 1/509 = 0, 196%). Men märk att kolumn P tilldelar en vikt på 6%, sedan 5, 64%, sedan 5, 3% och så vidare. Det är den enda skillnaden mellan enkel varians och EWMA.
Kom ihåg: när vi har summerat hela serien (i kolumn Q) har vi variationen, som är kvadratet för standardavvikelsen. Om vi vill ha volatilitet måste vi komma ihåg att ta kvadratroten av den variationen.
Vad är skillnaden i daglig volatilitet mellan variansen och EWMA i Googles fall ">
Dagens variation är en funktion av föregående dags variation
Du kommer att märka att vi behövde beräkna en lång serie exponentiellt sjunkande vikter. Vi kommer inte att göra matematiken här, men en av de bästa funktionerna i EWMA är att hela serien bekvämt reducerar till en rekursiv formel:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 var: λ = viktningsminskningenσ2 = värde vid tidsperioden nu2 = värde på EWMA vid tidsperioden n \ börja {inriktad} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {där:} \\ & \ lambda = \ text {viktningsgraden minskar} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {värde vid tidsperiod} n \\ & u ^ 2 = \ text {värde för EWMA vid tidsperiod} n \\ \ slut {inriktad} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 där: λ = viktningsminskningenσ2 = värde vid tidsperiod nu2 = värde för EWMA vid tidsperiod n
Rekursiv innebär att dagens variansreferenser (dvs. är en funktion av föregående dags varians). Du kan också hitta denna formel i kalkylarket, och den ger exakt samma resultat som longhandberäkningen! Den säger: dagens varians (under EWMA) är lika med gårdagens varians (viktad med lambda) plus gårdagens kvadratiska avkastning (vägd med en minus lambda). Lägg märke till hur vi bara lägger till två termer tillsammans: gårdagens viktade varians och gårdagens viktade, kvadratiska avkastning.
Trots det är lambda vår utjämningsparameter. En högre lambda (t.ex. som RiskMetrics 94%) indikerar långsammare sönderfall i serien - i relativa termer kommer vi att ha fler datapunkter i serien och de kommer att "falla av" långsammare. Å andra sidan, om vi minskar lambda, indikerar vi högre sönderfall: vikterna faller snabbare av, och som ett direkt resultat av det snabba förfallet används färre datapunkter. (I kalkylarket är lambda en inmatning, så du kan experimentera med dess känslighet).
Sammanfattning
Volatilitet är en momentans standardavvikelse för en bestånd och den vanligaste riskmetriken. Det är också varianskvadratroten. Vi kan mäta varians historiskt eller implicit (underförstådd volatilitet). När man mäter historiskt är den enklaste metoden enkel varians. Men svagheten med enkel varians är att alla avkastningar får samma vikt. Så vi står inför en klassisk avvägning: vi vill alltid ha mer data men ju mer data vi har desto mer utspädes vår beräkning med avlägsna (mindre relevanta) data. Det exponentiellt viktade rörliga genomsnittet (EWMA) förbättras på enkel varians genom att tilldela vikter till den periodiska avkastningen. Genom att göra detta kan vi båda använda en stor provstorlek men också ge större vikt för nyare avkastning.