Optimera din portfölj med normal distribution

Normaldistributionen är sannolikhetsfördelningen som plottar alla dess värden på ett symmetriskt sätt med de flesta resultat belägna kring sannolikhetens medelvärde.

Normal (Bell Curve) distribution

Datauppsättningar (som höjden på 100 människor, poäng som erhållits av 45 elever i en klass osv.) Tenderar att ha många värden vid samma datapunkt eller inom samma intervall. Denna fördelning av datapunkter kallas normal- eller klockkurvadistributionen.

Till exempel i en grupp av 100 individer kan 10 vara under 5 fot höga, 65 kan stå mellan 5 och 5, 5 fot och 25 kan vara över 5, 5 fot. Denna intervallbundna distribution kan plottas enligt följande:

På liknande sätt kan datapunkter ritade i diagram för varje given datauppsättning likna olika typer av fördelningar. Tre av de vanligaste är vänsterjusterade, högerjusterade och virvlade distributioner:

Notera den röda trendlinjen i vart och ett av dessa diagram. Detta indikerar i stort sett datadistributionstrenden. Den första, ”LEFT Allined Distribution”, indikerar att en majoritet av datapunkterna faller i det lägre intervallet. I den andra ”RIGHT Allined Distribution” -grafen faller majoriteten av datapunkter i den högre änden av intervallet, medan den sista, ”Jumbled Distribution, ” representerar en blandad datauppsättning utan någon tydlig trend.

Det finns många fall där fördelningen av datapunkter tenderar att ligga runt ett centralt värde, och den grafen visar en perfekt normalfördelning - lika balanserad på båda sidor, med det högsta antalet datapunkter koncentrerade i mitten.

Här är en perfekt, normalt distribuerad datamängd:

Det centrala värdet här är 50 (som har flest antal datapunkter), och distributionen avsmalnar jämnt mot extrema slutvärden på 0 och 100 (som har det minsta antalet datapunkter). Normaldistributionen är symmetrisk runt det centrala värdet med halva värdena på varje sida.

Många verkliga exempel passar fördelningen med klockkurvan:

• Släng ett rättvis mynt många gånger (säg 100 gånger eller mer) så får du en balanserad normalfördelning av huvuden och svansarna.
• Rulla ett par rättvisa tärningar många gånger (säg 100 gånger eller mer) och resultatet kommer att bli en balanserad, normalfördelning centrerad runt siffran 7 och jämnt avsmalnande mot extrema slutvärden på 2 och 12.
• Höjden på individer i en grupp av betydande storlek och betyg som erhållits av personer i en klass följer båda normala fördelningsmönster.
• När det gäller finans, ändringar i loggvärdena av valutakurser, prisindex och aktiekurser antas normalt distribueras.

Risk och avkastning

Varje investering har två aspekter: risk och avkastning. Investerare letar efter lägsta möjliga risk för högsta möjliga avkastning. Normaldistributionen kvantifierar dessa två aspekter med medelvärden för avkastning och standardavvikelse för risk. (För mer, se "Medelvariansanalys.")

Medelvärde eller förväntat värde

En särskild genomsnittlig förändring av aktiens pris kan vara 1, 5% på daglig basis - vilket innebär att den i genomsnitt stiger med 1, 5%. Detta medelvärde eller förväntat värde som anger avkastning kan nås genom att beräkna medelvärdet på ett tillräckligt stort datasätt som innehåller historiska dagliga prisförändringar för det aktiet. Ju högre medelvärde, desto bättre.

Standardavvikelse

Standardavvikelse anger hur mycket värden i genomsnitt avviker från medelvärdet. Ju högre standardavvikelsen är, desto mer riskabel är investeringen, eftersom den leder till mer osäkerhet.

Här är en grafisk representation av samma:

Därför möjliggör den grafiska representationen av normalfördelning genom dess medelvärde och standardavvikelse representationen av både avkastning och risk inom ett klart definierat intervall.

Det hjälper till att veta (och vara säkert med säkerhet) att om en viss datauppsättning följer det normala fördelningsmönstret, kommer dess medelvärde att göra det möjligt för oss att veta vad som återgår till förväntan, och dess standardavvikelse gör att vi kan veta att cirka 68% av värdena kommer att ligga inom 1 standardavvikelse, 95% inom 2 standardavvikelser och 99% av värdena faller inom 3 standardavvikelser. Ett datasats som har ett medelvärde på 1, 5 och standardavvikelse på 1 är mycket riskfylldare än ett annat datasätt med ett medelvärde på 1, 5 och en standardavvikelse på 0, 1.

Att känna till dessa värden för varje vald tillgång (dvs. aktier, obligationer och fonder) kommer att göra en investerare medveten om förväntad avkastning och risker.

Det är lätt att tillämpa detta koncept och representera risken och avkastningen på en enda aktie, obligation eller fond. Men kan detta utvidgas till en portfölj med flera tillgångar ">

Individer börjar handla genom att köpa en aktie eller obligation eller investera i en fond. Gradvis tenderar de att öka sina innehav och köpa flera aktier, fonder eller andra tillgångar och därmed skapa en portfölj. I detta stegvisa scenarie bygger individer sina portföljer utan en strategi eller mycket tanke. Professionella fondförvaltare, handlare och marknadsaktörer följer en systematisk metod för att bygga sin portfölj med hjälp av en matematisk strategi som kallas modern portföljteori (MPT) som bygger på begreppet ”normal distribution”.

Modern portföljteori

Modern portfolio theory (MPT) erbjuder en systematisk matematisk strategi som syftar till att maximera en portföljs förväntade avkastning för ett visst antal portföljrisker genom att välja proportionerna för olika tillgångar. Alternativt erbjuder det också att minimera risken för en viss nivå av förväntad avkastning.

För att uppnå detta mål bör de tillgångar som ska inkluderas i portföljen inte väljas enbart baserat på sin egen individuella merit utan istället på hur varje tillgång kommer att prestera relativt de andra tillgångarna i portföljen.

I ett nötskal definierar MPT hur man bäst kan uppnå diversifiering av portföljen för bästa möjliga resultat: maximal avkastning för en acceptabel risknivå eller minimal risk för en önskad avkastningsnivå.

Byggstenarna

MPT var ett sådant revolutionerande koncept när det introducerades att dess uppfinnare vann ett Noble Prize. Denna teori gav framgångsrikt en matematisk formel för att vägleda diversifiering i investeringar.

Diversifiering är en riskhanteringsteknik som tar bort risken "alla ägg i en korg" genom att investera i icke-korrelerade aktier, sektorer eller tillgångsslag. Idealt kommer den positiva utvecklingen för en tillgång i portföljen att avbryta den negativa utvecklingen för andra tillgångar.

För att ta den genomsnittliga avkastningen på portföljen som har n olika tillgångar beräknas den proportionella viktade kombinationen av de bestående tillgångarnas avkastning.

På grund av arten av statistiska beräkningar och normalfördelning beräknas den totala portföljavkastningen (R _p ) som:

Rp = ΣwiRiR_p = \ sum {w_iR_i} rp = Σwi Ri

Summan (∑), där w är den proportionella vikten för tillgång i i portföljen, R _i är avkastningen (medelvärdet) för tillgången i.

Portföljisken (eller standardavvikelsen) är en funktion av korrelationerna för de inkluderade tillgångarna för alla tillgångspar (med avseende på varandra i paret).

På grund av arten av statistiska beräkningar och normalfördelning beräknas den totala portföljrisken (Std-dev) _p som:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ börja {inriktad} & \ vänster (Std-dev \ höger) _p = \ \ & sqrt \ vänster [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ vänster (std-dev \ höger) _i \ vänster (std-dev \ höger) _j \ vänster (cor-cof_ {ij} \ höger) \ höger] \\ \ end {inriktad} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)]

Här är cor-cof korrelationskoefficienten mellan avkastningen på tillgångarna i och j, och sqrt är kvadratroten.

Detta tar hand om den relativa utvecklingen för varje tillgång med avseende på den andra.

Även om detta verkar matematiskt komplicerat, inkluderar det enkla konceptet som används här inte bara standardavvikelserna för enskilda tillgångar, utan också de relaterade med avseende på varandra.

Ett bra exempel finns här från University of Washington.

Ett snabbt exempel på MPT

Låt oss föreställa oss som ett tankeexperiment att vi är en portföljförvaltare som har fått kapital och har i uppgift hur mycket kapital som ska allokeras till två tillgängliga tillgångar (A & B) så att den förväntade avkastningen maximeras och risken sänks.

Vi har också följande värden tillgängliga:

Ra = 0, 175

_Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0.164

Från och med samma tilldelning 50-50 till varje tillgång A & B, beräknar Rp till 0, 155 och (Std-dev) _p uppgår till 0, 1323. En enkel jämförelse säger att för denna 2 tillgångsportfölj är såväl avkastning som risk halvvägs mellan individuella värden på varje tillgång.

Men vårt mål är att förbättra avkastningen på portföljen utöver det genomsnittliga antingen enskilda tillgång och minska risken, så att den är lägre än för de enskilda tillgångarna.

Låt oss nu ta en kapitalallokeringsposition på 1, 5 i tillgång A och en kapitalallokeringsposition på -0, 5 i tillgång B. (Negativ kapitalallokering innebär att kortslutning av att lager och kapital erhålls används för att köpa överskottet för den andra tillgången med positiv kapitalallokering. med andra ord, vi kortsätter lager B för 0, 5 gånger kapital och använder de pengarna för att köpa lager A för belopp 1, 5 gånger kapital.)

Med hjälp av dessa värden får vi Rp som 0.1604 och (Std-dev) _p som 0.4005.

På liknande sätt kan vi fortsätta att använda olika fördelningsvikter för tillgång A & B och komma fram till olika uppsättningar Rp och (Std-dev) p. Enligt önskad avkastning (Rp) kan man välja den mest acceptabla risknivån (std-dev) p. Alternativt, för önskad risknivå, kan man välja den bästa tillgängliga portföljavkastningen. Hur som helst, genom denna matematiska modell för portföljteori, är det möjligt att uppfylla målet att skapa en effektiv portfölj med önskad kombination av risk och avkastning.

Användningen av automatiserade verktyg gör att man enkelt och smidigt kan upptäcka bästa möjliga tilldelade proportioner utan att behöva långa manuella beräkningar.

Den effektiva gränsen, CAPM (Capital Asset Pricing Model) och tillgångsprissättning med hjälp av MPT utvecklas också från samma normala fördelningsmodell och är en förlängning till MPT.

Utmaningar för MPT (och underliggande normal distribution)

Tyvärr är ingen matematisk modell perfekt och var och en har brister och begränsningar.

Det grundläggande antagandet att aktiekursens avkastning följer normal distribution själv ifrågasätts gång på gång. Det finns tillräckligt empiriskt bevis på fall där värden inte följer den antagna normala fördelningen. Att basera komplexa modeller på sådana antaganden kan leda till resultat med stora avvikelser.

När man går vidare i MPT kanske inte nödvändigtvis beräkningarna och antagandena om korrelationskoefficient och överensstämmelse med kovarians (baserat på historiska data) inte gäller för framtida förväntade värden. Till exempel visade obligations- och aktiemarknaderna en perfekt korrelation på den brittiska marknaden från 2001 till 2004, där avkastningen från båda tillgångarna minskade samtidigt. I verkligheten har det omvända observerats under långa historiska perioder före 2001.

Investerarens beteende beaktas inte i denna matematiska modell. Skatter och transaktionskostnader försummas, även om tilldelad kapitalfördelning och möjligheten att förkorta tillgångar antas.

I verkligheten kan ingen av dessa antaganden gälla, vilket innebär att realiserad finansiell avkastning kan skilja sig avsevärt från förväntade vinster.

Poängen

Matematiska modeller ger en bra mekanism för att kvantifiera vissa variabler med enstaka, spårbara siffror. Men på grund av antagandebegränsningarna kan modeller misslyckas.

Den normala fördelningen, som ligger till grund för portföljteorin, kan inte nödvändigtvis gälla för aktier och andra finansiella tillgångsprismönster. Portföljteorin har i sig massor av antaganden som bör granskas kritiskt innan viktiga ekonomiska beslut fattas.