Bayes teoremdefinition
Bayes teorem, uppkallad efter den brittiska matematikern Thomas Bayes från 1700-talet, är en matematisk formel för att bestämma villkorad sannolikhet. Satsen ger ett sätt att revidera befintliga förutsägelser eller teorier (uppdatera sannolikheter) med ny eller ytterligare bevis. När det gäller finansiering kan Bayes teorem användas för att betygsätta risken för att låna ut pengar till potentiella låntagare.
Bayes teorem kallas också Bayes 'regel eller Bayes' lag och utgör grunden för fältet Bayesiansk statistik.
Key Takeaways
- Med Bayes teorem kan du uppdatera förutsagda sannolikheter för en händelse genom att införa ny information.
- Bayes teorem uppkallades efter matematikern Thomas Bayes från 1700-talet.
- Det används ofta i finanser för att uppdatera riskbedömningen.
Formeln för Bayes teorem är
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) där: P (A) = Sannolikheten för att A inträffarP (B) = Sannolikheten för att B inträffarP (A∣B) = Sannolikheten för att en given BP (B∣A) = Sannolikheten för att B ges AP (A⋂B)) = Sannolikheten för att både A och B uppstår \ börja {inriktad} & P \ vänster (A | B \ höger) = \ frac {P \ vänster (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ vänster (B \ right)} = \ frac {P \ vänster (A \ right) \ cdotP \ vänster (B} {P \ vänster (B \ höger)} \\ & \ textbf {där:} \\ & P \ vänster (A \ höger) = \ text {Sannolikheten för att A inträffar} \\ & P \ vänster (B \ höger) = \ text {Sannolikheten för att B inträffar} \\ & P \ vänster (A | B \ höger) = \ text {Sannolikheten för en given B} \\ & P \ vänster (B | A \ höger) = \ text {Sannolikheten för att B ges A} \\ & P \ vänster (A \ bigcap {B} \ höger)) = \ text {Sannolikheten för att både A och B inträffar} \\ \ end {inriktad} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) där: P (A) = Sannolikheten för att A inträffarP (B) = The sannolikhet för att B uppträderP (A∣B) = Sannolikheten för att en given BP (B∣A) = Sannolikheten för att B ges AP (A⋂B)) = Sannolikheten för att både A och B uppstår
Bayes teorem förklarade
Stämningens tillämpningar är utbredda och begränsas inte till det ekonomiska området. Som ett exempel kan Bayes teorem användas för att bestämma noggrannheten i medicinska testresultat genom att ta hänsyn till hur troligt en given person är att ha en sjukdom och testens allmänna noggrannhet. Bayes teorem förlitar sig på att införliva tidigare sannolikhetsfördelningar för att generera bakre sannolikheter. Prioriterad sannolikhet, i Bayesian statistisk inferens, är sannolikheten för en händelse innan ny data samlas in. Detta är den bästa rationella bedömningen av sannolikheten för ett resultat baserat på den nuvarande kunskapen innan ett experiment genomförs. Bakre sannolikhet är den reviderade sannolikheten för en händelse som inträffar efter att ha tagit hänsyn till ny information. Posterior sannolikhet beräknas genom att uppdatera den tidigare sannolikheten med hjälp av Bayes teorem. I statistiska termer är den bakre sannolikheten sannolikheten för att händelse A inträffar med tanke på att händelse B har inträffat.
Bayes teorem ger således sannolikheten för en händelse baserad på ny information som är eller kan vara relaterad till den händelsen. Formeln kan också användas för att se hur sannolikheten för att en händelse inträffar påverkas av hypotetisk ny information, förutsatt att den nya informationen kommer att visa sig vara sant. Till exempel, säg att ett enda kort dras från ett komplett kortlek med 52 kort. Sannolikheten för att kortet är en kung är 4 dividerat med 52, vilket är lika med 1/13 eller ungefär 7, 69%. Kom ihåg att det finns fyra kungar i däcket. Anta nu att det avslöjas att det valda kortet är ett ansiktskort. Sannolikheten för att det valda kortet är en kung, med tanke på att det är ett ansiktskort, är 4 dividerat med 12, eller ungefär 33, 3%, eftersom det finns 12 ansiktskort i ett däck.
Derivera Bayes teoremformel med ett exempel
Bayes teorem följer helt enkelt från axiomerna för villkorad sannolikhet. Villkorad sannolikhet är sannolikheten för en händelse med tanke på att en annan händelse inträffade. Till exempel kan en enkel sannolikhetsfråga ställa: "Vad är sannolikheten för att Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) börskurs faller?" Villkorlig sannolikhet tar denna fråga ett steg längre genom att fråga: "Vad är sannolikheten för att AMZN-aktiekursen faller med tanke på att Dow Jones Industrial Average (DJIA) -index föll tidigare?"
Den villkorade sannolikheten för A med tanke på att B har hänt kan uttryckas som:
Om A är: "AMZN-pris faller" är P (AMZN) sannolikheten för att AMZN faller; och B är: "DJIA är redan nere", och P (DJIA) är sannolikheten för att DJIA föll; sedan läser det villkorliga sannolikhetsuttrycket som "sannolikheten för att AMZN sjunker med tanke på en DJIA-nedgång är lika med sannolikheten för att AMZN-pris sjunker och DJIA sjunker över sannolikheten för en minskning av DJIA-indexet.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN och DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN och DJIA) är sannolikheten för att både A och B inträffar. Detta är också samma som sannolikheten för att A inträffar multiplicerat med sannolikheten för att B inträffar med tanke på att A uppstår, uttryckt som P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Det faktum att dessa två uttryck är lika leder till Bayes teorem, som är skrivet som:
om, P (AMZN och DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
sedan P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Där P (AMZN) och P (DJIA) är sannolikheten för att Amazon och Dow Jones faller, utan hänsyn till varandra.
Formeln förklarar förhållandet mellan sannolikheten för hypotesen innan man ser bevisen att P (AMZN), och sannolikheten för hypotesen efter att ha fått bevisen P (AMZN | DJIA), som ges en hypotes för Amazon som ges bevis i Dow.
Numeriskt exempel på Bayes teorem
Som ett numeriskt exempel, föreställ dig att det finns ett läkemedeltest som är 98% korrekt, vilket betyder 98% av tiden det visar ett riktigt positivt resultat för någon som använder läkemedlet och 98% av tiden det visar ett verkligt negativt resultat för icke-användare av läkemedel. Därefter antar att 0, 5% av människorna använder drogen. Om en person som valts vid slumpmässiga tester som är positiv för läkemedlet, kan följande beräkning göras för att se om sannolikheten för personen faktiskt är en användare av läkemedlet.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayes teorem visar att även om en person testade positivt i detta scenario är det faktiskt mycket mer troligt att personen inte är en användare av läkemedlet.
Jämför investeringskonton Leverantörs namn Beskrivning Annonsörens upplysning × Erbjudandena som visas i denna tabell kommer från partnerskap från vilka Investopedia erhåller ersättning.