Kontinuerligt sammansatt intresse

Sammansatt ränta är ränta som beräknas på den ursprungliga kapitalen och även på den ackumulerade räntan för tidigare perioder av en insättning eller lån. Effekten av sammansatt ränta beror på frekvensen.

Antag en årlig ränta på 12%. Om vi ​​börjar året med $ 100 och sammansatt endast en gång, i slutet av året, växer rektor till $ 112 ($ 100 x 1, 12 = $ 112). Om vi ​​istället sammansätter varje månad till 1%, slutar vi med mer än 112 $ i slutet av året. Det vill säga $ 100 x 1, 01 ^ 12 vid $ 112, 68. (Det är högre eftersom vi sammansattes oftare.)

Kontinuerligt sammansatt returnerar sammansatt det vanligaste av alla. Kontinuerlig sammansättning är den matematiska gränsen som sammansatt ränta kan uppnå. Det är ett extremt fall av sammansättning eftersom de flesta intressen förvärras varje månad, kvartalsvis eller halvårsvis.

Halvårsavkastning

Låt oss först titta på en potentiellt förvirrande konvention. På obligationsmarknaden avser vi en obligationsekvivalentavkastning (eller obligationsekvivalentbasis). Detta innebär att om en obligation ger 6% på halvårsbasis är dess obligationsekvivalentavkastning 12%.

Figur 1

Den halvårliga avkastningen fördubblas helt enkelt. Detta är potentiellt förvirrande eftersom det effektiva utbytet av en 12% bindningsekvivalent avkastningsobligation är 12, 36% (dvs. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Att fördubbla den halvårliga avkastningen är bara en konvention om namngivning av obligationer. Därför, om vi läser om en 8% -binding sammansatt halvårsvis, antar vi att detta avser 4% halvårsavkastning.

Kvartalsvis, månadsvis och daglig avkastning

Låt oss nu diskutera högre frekvenser. Vi antar fortfarande en årlig marknadsränta på 12%. Enligt konventioner om namngivning av obligationer innebär det en halvårsvis sammansatt ränta på 6%. Vi kan nu uttrycka den kvartalsvisa sammansatta räntan som en funktion av marknadsräntan.

figur 2

Med en årlig marknadsränta ( r) ges den kvartalsvisa sammansatta räntan ( r _q ) av:

Så, till exempel, där den årliga marknadsräntan är 12%, är den sammansatta räntan 11, 825%:

Figur 3

En liknande logik gäller för månatlig sammansättning. Den månatliga sammansatta räntan ( r _m ) anges här som funktionen av den årliga marknadsräntan ( r):

Den dagliga sammansatta räntan ( d) som en funktion av marknadsräntan ( r) ges av:

Hur kontinuerlig sammansättning fungerar

Figur 4

Om vi ​​ökar den sammansatta frekvensen till dess gräns, blandas vi kontinuerligt. Även om detta kanske inte är praktiskt erbjuder den kontinuerligt sammansatta räntan fantastiskt praktiska egenskaper. Det visar sig att den kontinuerligt sammansatta räntan ges av:

Ln () är den naturliga loggen och i vårt exempel är den kontinuerligt sammansatta hastigheten därför:

Vi kommer till samma plats genom att ta den naturliga loggen för detta förhållande: slutvärdet dividerat med startvärdet.

Det senare är vanligt när man beräknar den kontinuerligt sammansatta avkastningen för en aktie. Om till exempel hoppar från $ 10 en dag till $ 11 nästa dag, ges den kontinuerligt sammansatta dagliga avkastningen av:

Vad är så bra med den kontinuerligt sammansatta räntan (eller avkastningen) som vi kommer att beteckna med r _c ">

Observera att e är exponentiell funktion. Om vi ​​till exempel börjar med $ 100 och kontinuerligt sammansätter 8% under tre år ges den slutliga förmögenheten av:

Diskontering till nuvärdet (PV) sammanslags bara i omvänd riktning, så nuvärdet för ett framtida värde (F) sammansatt med en hastighet av ( r _c ) ges av:

Om du till exempel tar emot $ 100 på tre år under en kontinuerlig ränta på 6%, ges dess nuvärde av:

Skalning över flera perioder

Den bekväma egenskapen för den kontinuerligt sammansatta returen är att den skalar över flera perioder. Om avkastningen för den första perioden är 4% och avkastningen för den andra perioden är 3%, är två-periodens avkastning 7%. Tänk på att vi börjar året med $ 100, som växer till $ 120 i slutet av det första året, sedan $ 150 i slutet av det andra året. Den kontinuerligt sammansatta avkastningen är 18, 23% respektive 22, 31%.

Om vi ​​helt enkelt lägger till dessa får vi 40, 55%. Detta är två-periodens avkastning:

Tekniskt sett är den kontinuerliga avkastningen tidskonsistent. Tidskonsistens är ett tekniskt krav för riskvärde (VAR). Detta innebär att om en en-period-avkastning är en normalt distribuerad slumpvariabel, vill vi att flera-periodiga slumpmässiga variabler också ska fördelas normalt. Dessutom fördelas den kontinuerligt sammansatta avkastningen med flera perioder normalt (till skillnad från, till exempel, en enkel procentuell avkastning).

Poängen

Vi kan omformulera de årliga räntorna till halvårsvis, kvartalsvis, månadsvis eller daglig ränta (eller avkastning). Den vanligaste sammansättningen är kontinuerlig sammansättning, vilket kräver att vi använder en naturlig logg och en exponentiell funktion, som vanligtvis används inom finansiering på grund av dess önskvärda egenskaper - det skalar lätt över flera perioder och det är tidskonsistent.