Lognormal och normal distribution

Matematiken bakom ekonomi kan vara lite förvirrande och tråkig. Lyckligtvis gör de flesta datorprogram komplexa beräkningar. Att förstå de olika statistiska termerna och metoderna, deras betydelse och som bäst analyserar investeringar är emellertid avgörande när man väljer lämplig säkerhet och får den önskade effekten på en portfölj.

Ett viktigt beslut är att välja mellan normala kontra lognormala fördelningar, båda hänvisas ofta till i forskningslitteratur. Innan du väljer måste du veta:

• Vad de är
• Vilka skillnader finns mellan dem
• Hur de påverkar investeringsbeslut

Normal kontra Lognormal

Både normal och lognormal fördelning används i statistisk matematik för att beskriva sannolikheten för att en händelse inträffar. Att vända ett mynt är ett lättförståeligt exempel på sannolikhet. Om du vänder ett mynt 1000 gånger, vad är fördelningen av resultaten? Det vill säga, hur många gånger kommer det att landa på huvuden eller svansarna? Det är 50% troligt att det kommer att landa på antingen huvud eller svansar. Detta grundläggande exempel beskriver sannolikheten och fördelningen av resultat.

Det finns många typer av distributioner, varav en är normal- eller klockkurvadistributionen. (Se figur 1.)

I en normalfördelning faller 68% (34% + 34%) av resultaten inom en standardavvikelse och 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) faller inom två standardavvikelser. I mitten (0-punkten i bilden ovan) är medianen (mittvärdet i uppsättningen), läget (värdet som förekommer oftast) och medelvärdet (aritmetiskt medelvärde) lika.

Den lognormala fördelningen skiljer sig från normalfördelningen på flera sätt. En stor skillnad är i sin form: normalfördelningen är symmetrisk, medan den lognormala fördelningen inte är. Eftersom värdena i en lognormal fördelning är positiva skapar de en höger skev kurva. (Se fig 2)

Denna skevhet är viktig för att bestämma vilken distribution som är lämplig att använda vid investeringsbeslut. En ytterligare distinktion är att värdena som används för att härleda en lognormal fördelning normalt fördelas.

Låt oss förtydliga med ett exempel. En investerare vill veta ett förväntat framtida aktiekurs. Eftersom bestånd växer med en sammansatt takt måste hon använda en tillväxtfaktor. För att beräkna möjliga förväntade priser tar hon det aktuella aktiekursen och multiplicerar det med olika avkastningskurser (som är matematiskt härledda exponentiella faktorer baserade på sammansättning), som antas vara normalt fördelade. När investeraren kontinuerligt sammansätter avkastningen skapar hon en lognormal distribution. Denna distribution är alltid positiv även om en del av avkastningskurserna är negativa, vilket kommer att hända 50% av tiden i en normalfördelning. Det framtida aktiekursen kommer alltid att vara positivt eftersom aktiekurserna inte kan sjunka under $ 0.

När ska man använda normal kontra lognormal distribution

Föregående exempel hjälpte oss att komma fram till vad som verkligen betyder för investerare: när vi ska använda varje metod. Lognormal är extremt användbart vid analys av aktiekurser. Så länge den använda tillväxtfaktorn antas vara normalt fördelad (som vi antar med avkastningstakten), är lognormalfördelningen vettig. Normal distribution kan inte användas för att modellera aktiekurser eftersom den har en negativ sida och aktiekurserna inte kan falla under noll.

En annan liknande användning av den lognormala distributionen är med prissättningen av alternativ. Black-Scholes-modellen - används för att prisalternativ - använder den lognormala distributionen som bas för att bestämma optioner.

Omvänt fungerar normalfördelning bättre när man beräknar total portföljavkastning. Den normala fördelningen används eftersom den vägda genomsnittliga avkastningen (produkten av vikten på en säkerhet i en portfölj och dess avkastning) är mer exakt när det gäller att beskriva den faktiska portföljavkastningen (positiv eller negativ), särskilt om vikterna varierar med en stor grad. Följande är ett typiskt exempel:

Portföljinnehavets vikter Returnerar vägd avkastning

Lager A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Lager B 60% 6% 60% * 6% = 3, 6%

Vägt genomsnittlig totalavkastning = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Även om den lognormala avkastningen för total portföljprestanda kan bli snabbare att beräkna under en längre tidsperiod misslyckas den med att fånga de enskilda aktievikterna, vilket kan snedvrida avkastningen enormt. Portföljavkastningen kan också vara positiv eller negativ, och en lognormal distribution kommer inte att fånga de negativa aspekterna.

Poängen

Även om nyanserna som skiljer normal och lognormal fördelning kan undkomma oss för det mesta, kommer kunskap om utseendet och kännetecknen för varje distribution att ge insikt i hur man modellerar portföljavkastning och framtida aktiekurser.