Black Scholes modell

Vad är Black Scholes-modellen?

Black Scholes-modellen, även känd som Black-Scholes-Merton (BSM) -modellen, är en matematisk modell för att prissätta ett optionskontrakt. I synnerhet uppskattar modellen variationen över tid för finansiella instrument som aktier, och att använda den underförstådda volatiliteten för den underliggande tillgången erhåller priset på en köpoption.

Key Takeaways

• Black-Scholes Merton (BSM) -modellen är en differentiell ekvation som används för att lösa för optioner.
• Modellen vann Nobelpriset i ekonomi.
• Standard BSM-modellen används endast för att prissätta europeiska optioner och tar inte hänsyn till att amerikanska optioner kan utnyttjas före utgångsdatumet.

Grunderna i Black Scholes-modellen

Modellen antar att priset på kraftigt handlade tillgångar följer en geometrisk brunisk rörelse med konstant drift och volatilitet. När den tillämpas på en aktieoption, innehåller modellen den ständiga prisvariationen för aktien, tidsvärdet på pengar, alternativets strejkpris och tiden till optionens utgång.

Även kallad Black-Scholes-Merton var den första allmänt använda modellen för prissättning av optioner. Det används för att beräkna det teoretiska värdet på optioner med hjälp av aktuella aktiekurser, förväntad utdelning, alternativets strejkpris, förväntade räntor, tid till utgång och förväntad volatilitet.

Formeln, som utvecklats av tre ekonomer - Fischer Black, Myron Scholes och Robert Merton - är kanske världens mest kända modell för prissättning av alternativ. Det introducerades i deras papper från 1973, "Prissättningen på alternativ och företagsansvar", publicerad i Journal of Political Economy . Black dog bort två år innan Scholes och Merton tilldelades Nobelpriset i ekonomi 1997 för sitt arbete med att hitta en ny metod för att bestämma värdet på derivat (Nobelpriset ges inte postumt. Nobelkommittén erkände dock Black's roll i Black-Scholes-modell).

Black-Scholes-modellen gör vissa antaganden:

• Alternativet är europeiskt och kan endast utnyttjas vid utgången.
• Ingen utdelning betalas ut under optionens löptid.
• Marknaderna är effektiva (dvs. marknadsrörelser kan inte förutsägas).
• Det finns inga transaktionskostnader för att köpa optionen.
• Den underliggande riskfriheten och volatiliteten är känd och konstant.
• Avkastningen på det underliggande fördelas normalt.

Medan den ursprungliga Black-Scholes-modellen inte beaktade effekterna av utdelade utbetalningar under optionens löptid, är modellen ofta anpassad för att redovisa utdelning genom att bestämma värdet på utdelningsdatumet för den underliggande aktien.

Black Scholes-formeln

Matematiken som är involverad i formeln är komplicerad och kan vara skrämmande. Lyckligtvis behöver du inte veta eller ens förstå matematiken för att använda Black-Scholes-modellering i dina egna strategier. Alternativhandlare har tillgång till en mängd olika online-kalkylatorer, och många av dagens handelsplattformar har robusta alternativ för att analysera verktyg, inklusive indikatorer och kalkylblad som utför beräkningarna och skickar ut värden för optionernas prissättning.

Black Scholes köpoptionsformel beräknas genom att multiplicera aktiekursen med den kumulativa standard normala sannolikhetsfördelningsfunktionen. Därefter subtraheras nuvärdet (NPV) för strejkpriset multiplicerat med den kumulativa normala normalfördelningen från det resulterande värdet av den tidigare beräkningen.

I matematisk notation:

C = StN (d1) −Ke − rtN (d2) där: d1 = lnStK + (r + σv22) tσs tandd2 = d1 − σs twhere: C = Call option priceS = Aktuellt lager (eller annat underliggande) prisK = Strike pricer = Riskfri ränta = Tid till förfallN = En normalfördelning \ börja {inriktad} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {där:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ text {och} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {var:} \\ & C = \ text {Call option price} \\ & S = \ text {Aktuellt lager (eller annat underliggande) pris} \\ & K = \ text {Strike price} \\ & r = \ text {Riskfri ränta} \\ & t = \ text {Tid till mognad} \\ & N = \ text {En normal distribution} \ \ \ slut {inriktad} C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) där: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t andd2 = d1 −σs t där: C = KursoptionsprisS = Aktuellt lager (eller annat underliggande) prisK = Stikpriser = Riskfri ränta = Tid till förfallN = En normal fördelning

01:33

Black-Scholes-modell

Vad berättar Black Scholes-modellen?

Black Scholes-modellen är ett av de viktigaste begreppen i modern finansiell teori. Det utvecklades 1973 av Fischer Black, Robert Merton och Myron Scholes och används fortfarande i dag. Det betraktas som ett av de bästa sätten att fastställa rättvisa priser på optioner. Black Scholes-modellen kräver fem inmatningsvariabler: ett valutakurspris, det aktuella aktiekursen, tiden till utgången, den riskfria räntan och volatiliteten.

Modellen antar att aktiekurserna följer en lognormal fördelning eftersom tillgångspriserna inte kan vara negativa (de begränsas av noll). Detta är också känt som en Gaussisk distribution. Ofta observeras tillgångspriserna ha betydande rätt skevhet och viss grad av kurtos (fett svansar). Detta innebär att högrisk nedåtgående rörelser ofta sker oftare på marknaden än en normal distribution förutsäger.

Antagandet av lognormala underliggande tillgångspriser bör alltså visa att underförstådda volatiliteter är lika för varje strejkpris enligt Black-Scholes-modellen. Sedan marknadskraschen 1987 har implicita volatiliteter för pengarna inte varit lägre än de längre bort från pengarna eller långt i pengarna. Anledningen till detta fenomen är att marknaden prissätter i en större sannolikhet för en hög volatilitet till nackdelen på marknaderna.

Detta har lett till förekomsten av volatilitetskränken. När de underförstådda volatiliteterna för alternativ med samma utgångsdatum kartläggs på en graf, kan ett leende eller snedform ses. Således är Black-Scholes-modellen inte effektiv för att beräkna underförstådd volatilitet.

Begränsningar av Black Scholes-modellen

Som tidigare nämnts används Black Scholes-modellen endast för att prissätta europeiska optioner och tar inte hänsyn till att amerikanska optioner kan utnyttjas före utgångsdatumet. Dessutom antar modellen att utdelningar och riskfria kurser är konstanta, men det kanske inte är sant i verkligheten. Modellen antar också att volatiliteten förblir konstant under optionens livslängd, vilket inte är fallet eftersom volatiliteten varierar med nivån på utbud och efterfrågan.

Dessutom antar modellen att det inte finns några transaktionskostnader eller skatter. att den riskfria räntan är konstant för alla löptider; att kortsäljning av värdepapper med användning av intäkter är tillåten; och att det inte finns risklösa arbitrage-möjligheter. Dessa antaganden kan leda till priser som avviker från den verkliga världen där dessa faktorer finns.

Jämför investeringskonton Leverantörs namn Beskrivning Annonsörens upplysning × Erbjudandena som visas i denna tabell kommer från partnerskap från vilka Investopedia erhåller ersättning.

Relaterade villkor

Merton-modellanalysverktyget Merton-modellen är ett analysverktyg som används för att utvärdera kreditrisken för ett företags skuld. Analytiker och investerare använder Merton-modellen för att förstå ett företags finansiella förmåga. mer Definition av Heston-modellen Heston-modellen, uppkallad efter Steve Heston, är en typ av stokastisk volatilitetsmodell som används av ekonomer för att prissätta europeiska alternativ. mer Alternativprissättningsteori Definition Alternativprissättningsteori använder variabler (aktiekurs, övningspris, volatilitet, ränta, tid till utgång) för att teoretiskt värdera ett alternativ. mer Robert C. Merton Robert C. Merton är en nobelprisbelönad ekonom som är känd för sin metod för att bestämma värdet på optioner. mer Black's Model Black's Model är en variant av den populära Black-Scholes-prissättningsmodellen som möjliggör värdering av optioner på terminskontrakt. mer Hur implicerad volatilitet - IV hjälper dig att köpa lågt och sälja Hög implicit volatilitet (IV) är marknadens prognos för en trolig rörelse i ett värdepapperspris. Det används ofta för att bestämma handelsstrategier och för att fastställa priser för optionskontrakt. mer Partnerlänkar