Beräkning av nuvänliga och framtida värden på livränta

Vid någon tidpunkt i ditt liv kan du ha varit tvungen att göra en serie fasta betalningar under en tid - till exempel hyres- eller bilbetalningar - eller ha fått en serie betalningar under en tid, till exempel ränta från obligationer eller CD skivor. Dessa kallas livränta (en mer generisk användning av ordet - för att inte förväxlas med den specifika finansiella produkten som kallas livränta, även om de två är relaterade). Om du förstår tidsvärdet på pengar är du redo att lära dig om livränta och hur deras nuvarande och framtida värden beräknas.

Vad är livränta?

Livränta är i huvudsak en serie fasta betalningar som krävs av dig, eller betalas till dig, vid en viss frekvens under en fast tidsperiod. Betalningsfrekvenserna kan vara årligen, halvårsvis (två gånger om året), kvartalsvis och månadsvis. Det finns två grundläggande typer av livränta: vanliga livränta och förfallna livränta.

• Vanlig livränta: Betalningar krävs i slutet av varje period. Till exempel gör rena obligationer vanligtvis kupongbetalningar i slutet av var sjätte månad fram till obligationens förfallodag.
• Förfallande livränta: Betalningar krävs i början av varje period. Hyra är ett exempel på en livränta. Du är vanligtvis skyldig att betala hyran när du först flyttar in i början av månaden och sedan den första i varje månad därefter.

Eftersom de nuvarande och framtida värderingsberäkningarna för vanliga livränta och livränta är något olika kommer vi att diskutera dem separat.

Vanliga livränta

Beräkna framtidsvärdet

Om du vet hur mycket du kan investera per period under en viss tidsperiod är framtidsvärdet (FV) för en vanlig livränteformel användbar för att ta reda på hur mycket du skulle ha i framtiden. Om du betalar på ett lån är det framtida värdet användbart för att bestämma den totala kostnaden för lånet. Om du vet hur mycket du planerar att investera varje år och den fasta avkastningsränta som din livränta garanterar - eller för lån, beloppet på dina betalningar och den givna räntan - kan du enkelt bestämma ditt kontos värde när som helst i framtiden.

Låt oss nu gå igenom exempel 1. Tänk på följande kassaflödesschema för livränta:

För att beräkna det framtida värdet på livränta måste vi beräkna det framtida värdet för varje kassaflöde. Låt oss anta att du får 1 000 USD varje år under de kommande fem åren och att du investerar varje betalning till 5% ränta. Följande diagram visar hur mycket du skulle ha i slutet av femårsperioden:

Eftersom vi måste lägga till det framtida värdet för varje betalning, kanske du har lagt märke till att om du har en vanlig livränta med många kassaflöden, skulle det ta lång tid att beräkna alla framtida värden och sedan lägga till dem tillsammans. Lyckligtvis tillhandahåller matematik en formel som fungerar som en genväg för att hitta det ackumulerade värdet på alla kassaflöden som erhålls från en vanlig livränta:

FVOrdinary Livränta = C × [(1 + i) n − 1i] där: C = Kassaflöde per periodi = Räntesats = Antal betalningar \ börja {inriktad} & \ text {FV} _ {\ text {Vanlig ~ Livränta }} = \ text {C} \ gånger \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {var:} \\ & \ text {C} = \ text {Kassaflöde per period} \\ & i = \ text {Räntesats} \\ & n = \ text {Antal betalningar} \\ \ end {inriktad} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n − 1] där: C = Kassaflöde per periodi = Räntesats = Antal betalningar

Med hjälp av ovanstående formel för exempel 1 ovan är detta resultatet:

FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10.05] = $ 1000 × [5.53] \ start {inriktad} \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ höger] \\ & = \ $ 1000 \ gånger [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ end {inriktad} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 × [5, 53]

Beräkna nuvärdet

Observera att skillnaden på en cent mellan $ 5, 525, 64 och 5, 525, 63 $ beror på ett avrundningsfel i den första beräkningen. Varje värde på den första beräkningen måste avrundas till närmaste öre - ju mer du måste runda siffror i en beräkning, desto mer troligt kommer rundningsfel att uppstå. Så, ovanstående formel ger inte bara en genväg för att hitta FV för en vanlig livränta utan ger också ett mer exakt resultat.

Nuvärdet av en livränta är helt enkelt det aktuella värdet på alla inkomster som genereras av den investeringen i framtiden. Denna beräkning bygger på begreppet tidsvärde för pengar, som säger att en dollar nu är värd mer än en dollar som tjänas i framtiden. På grund av detta använder nuvärdesberäkningar antalet tidsperioder som inkomst genereras för att diskontera värdet på framtida betalningar.

Om du vill bestämma dagens värde på en framtida betalningsserie måste du använda formeln som beräknar nuvärdet (PV) för en vanlig livränta. Detta är formeln du skulle använda som en del av en beräkning av obligationer. PV för en vanlig livränta beräknar nuvärdet av de kupongbetalningar som du kommer att få i framtiden.

För exempel 2 använder vi samma livränta kassaflödesschema som vi gjorde i exempel 1. För att få det totala diskonterade värdet måste vi ta nuvärdet för varje framtida betalning och, som vi gjorde i exempel 1, lägga till kassaflöden tillsammans.

Återigen kommer det att ta en betydande tid att beräkna och lägga till alla dessa värden, särskilt om vi förväntar oss många framtida betalningar. Även om många online-kalkylatorer kan bestämma nuvärdet för en livränta, är formeln för en vanlig livränta inte alltför komplicerad att beräkna för hand, om vi använder en matematisk genväg för PV för en vanlig livränta.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Normal ~ Annuity}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) −n]

Formeln ger oss PV i några enkla steg. Här är beräkningen av livränta som visas i diagrammet för exempel 2:

PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [1− (1 + 0, 05) −50.05] = $ 1000 × [4.33] \ begin {inriktad} \ text {PV} _ {\ text {Ordinär ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ Stor [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ gånger [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ end {inriktad} PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 × [4, 33]

Beräkna framtidsvärdet

När du tar emot eller betalar kassaflöden för en förfallen livränta visas ditt kassaflödesschema enligt följande:

Eftersom varje betalning i serien görs en period förr, måste vi rabattera formeln en period tillbaka. En liten ändring av formeln FV-of-an-normal-livränta står för betalningar som inträffar i början av varje period. I exempel 3, låt oss illustrera varför denna modifiering behövs när varje $ 1 000 betalning görs i början av perioden snarare än i slutet (räntan är fortfarande 5%):

Observera att när betalningar görs i början av perioden, hålls varje belopp längre i slutet av perioden. Om till exempel 1 000 dollar investerades den 1 januari snarare än den 31 december varje år skulle den sista betalningen innan vi värderar vår investering i slutet av fem år (den 31 december) ha gjorts ett år före (1 januari) snarare än samma dag som det värderas. Det framtida värdet av livränteformeln skulle då läsa:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ gånger \ vänster [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ höger] \ gånger (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Därför,

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ start {inriktad} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ höger] \ gånger (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ gånger5, 53 \ gånger1, 05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ slut { justerad} FVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Livränta på grund

Beräkna nuvärdet

För nuvärdet av en livränteformulär måste vi rabattera formeln en period framåt eftersom betalningarna hålls under en kortare tid. När vi beräknar nuvärdet antar vi att den första betalningen gjordes idag.

Vi kan använda den här formeln för att beräkna nuvärdet av dina framtida hyresbetalningar enligt det hyresavtal som du tecknar med din hyresvärd. Låt oss säga att du gör din första hyresbetalning (se exempel 4 nedan) i början av månaden och utvärderar nuvärdet för din femmånadershyra samma dag. Din beräkning av nuvärdet fungerar enligt följande:

Naturligtvis kan vi använda en formelgenväg för att beräkna nuvärdet av en livränta:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ höger] \ gånger (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Därför,

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ börja {inriktad} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ vänster [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ höger] \ gånger (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ gånger4, 33 \ gånger1, 05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ end {inriktad} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05

Kom ihåg att nuvärdet av en vanlig livränta gav ett värde av $ 4 329, 48. Nuvärdet av en ordinarie livränta är mindre än den för en livränta som förfaller eftersom ju längre vi diskonterar en framtida betalning, desto lägre är nuvärdet - varje betalning eller kassaflöde i en ordinarie livränta inträffar en period längre fram i tiden.

Tidsvärdet för pengar

Beräkningen av det framtida värdet är baserat på begreppet pengarets tidsvärde. Detta betyder helt enkelt att en dollar som tjänas i dag är värd mer än en dollar som tjänas i morgon för att medel som du kontrollerar nu kan investeras och tjäna ränta över tid. Därför är det framtida värdet på en livränta större än summan av alla dina investeringar eftersom dessa bidrag har tjänat ränta över tid. Till exempel är det framtida värdet på 1 000 USD som idag investeras i 10% ränta 1 100 USD ett år från och med nu. En enda dollar idag är värd $ 1, 10 på ett år på grund av tidsvärdet på pengar.

Anta att du betalar 5 000 USD årligen till din vanliga livränta i 15 år. Det tjänar 9% ränta, sammansatt årligen.

FV = 5 000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5 000 × {((1, 0915) −1) ÷ 0, 09} = $ 5 000 × 2.642 ÷ 0, 09 \ börja {inriktad} FV & = \ 5 000 $ \ gånger \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ $ 5 000 \ gånger \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ $ 5000 \ gånger 2.642 \ div 0, 09 \\ & = \ $ 5000 \ gånger \ 146, 804, 58 \ slut {inriktat} FV = $ 5000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5000 x {((1, 0915) -1) ÷ 0, 09} = $ 5000 × 2, 642 ÷ 0, 09

Utan kraften i ränta sammansatt är din serie på $ 5.000 bidrag bara värt $ 75.000 vid slutet av 15 år. Istället, med sammansatt ränta, är det framtida värdet på din livränta nästan dubbelt så högt som $ 146 804, 58.

För att beräkna det framtida värdet på en förfallen livränta multiplicerar du helt enkelt det ordinarie framtida värdet med 1+ i (räntesatsen). I exemplet ovan är det framtida värdet på en livränta med samma parametrar helt enkelt $ 146 804, 58 x (1 + 0, 09) eller $ 160, 016, 99.

Hänsyn till nuvärdet

När man beräknar nuvärdet för en livränta är det viktigt att alla variabler är konsekventa. Om livräntan genererar årliga betalningar, till exempel, måste räntan också uttryckas som en årlig ränta. Om livräntan genererar månatliga betalningar, till exempel, måste räntan också uttryckas som en månatlig ränta.

Anta att en livränta har en ränta på 10% som genererar årliga betalningar på $ 3 000 för de kommande 15 åren. Nuvärdet av denna livränta är:

= $ 3000 x (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = $ 3000 x ((1 0, 239392) ÷ 0, 1) = $ 3000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3000 × 7, 60608 \ begin {linje } & = \ $ 3000 \ gånger (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3000 \ times ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ gånger (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ gånger 7.60608 \\ & = \ $ 22.818 \ slut {inriktat} = $ 3.000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0, 1) = $ 3000 × ((1-.239392) ÷ 0, 1) = $ 3000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3000 × 7, 60608

Nuvärdet av en livränta

Poängen

Nu kan du se hur livränta påverkar hur du beräknar nuvärdet och framtida värde för alla pengar. Kom ihåg att betalningsfrekvenserna, eller antalet betalningar, och den tidpunkt då dessa betalningar görs (vare sig i början eller slutet av varje betalningsperiod) är alla variabler du måste redovisa i dina beräkningar.

När du planerar för pensionering är det viktigt att ha en god uppfattning om hur mycket inkomst du kan lita på varje år. Även om det kan vara relativt enkelt att hålla reda på hur mycket du lägger in i arbetsgivarsponserade pensionsplaner, individuella pensionskonton (IRA) och livränta, är det inte alltid så lätt att veta hur mycket du kommer att få ut. Lyckligtvis finns det ett enkelt sätt att beräkna hur mycket pengar du kan förvänta dig att ha tillgängligt efter pensionering baserat på hur mycket du lägger in på kontot under dina arbetsår när det gäller livränta med fast ränta eller planer som investeras i fast ränta. .