Hur man använder Monte Carlo-simulering med GBM

Ett av de vanligaste sätten att uppskatta risken är användningen av en Monte Carlo-simulering (MCS). Till exempel för att beräkna värdet vid risk (VaR) för en portfölj kan vi köra en Monte Carlo-simulering som försöker förutsäga den värsta troliga förlusten för en portfölj med ett konfidensintervall över en viss tidshorisont (vi måste alltid ange två förutsättningar för VaR: förtroende och horisont).

I den här artikeln kommer vi att granska en grundläggande MCS tillämpad på ett aktiekurs med hjälp av en av de vanligaste modellerna inom finans: geometrisk Brownian motion (GBM). Därför, medan Monte Carlo-simulering kan hänvisa till ett universum av olika metoder för simulering, kommer vi att börja här med det mest grundläggande.

Var du ska börja

En Monte Carlo-simulering är ett försök att förutsäga framtiden många gånger. I slutet av simuleringen producerar tusentals eller miljoner "slumpmässiga försök" en fördelning av resultat som kan analyseras. De grundläggande stegen är följande:

1. Ange en modell (t.ex. GBM)

För den här artikeln kommer vi att använda Geometric Brownian Motion (GBM), som tekniskt är en Markov-process. Detta innebär att aktiekursen följer en slumpmässig promenad och överensstämmer med (åtminstone) den svaga formen av den effektiva marknadshypotesen (EMH) - tidigare prisinformation är redan införlivad, och nästa kursrörelse är "villkorligt oberoende" av tidigare prisrörelser.

Formeln för GBM hittas nedan:

Var:

• S = Aktiekursen
• Δ S = Förändringen i aktiekurs
• μ = Den förväntade avkastningen
• σ = Standardavvikelsen för returer
• ϵ = Den slumpmässiga variabeln
• Δ t = Den förflutna tidsperioden

Om vi ​​ordnar om formeln för att lösa bara för förändringen i aktiekursen ser vi att GBM säger att förändringen i aktiekursen är aktiekursen "S" multiplicerat med de två termerna som finns i parentesen nedan:

Den första termen är en "drift" och den andra termen är en "chock". För varje tidsperiod antar vår modell att priset "kommer att öka" med den förväntade avkastningen. Men driften kommer att bli chockad (tillagd eller subtraherad) av en slumpmässig chock. Den slumpmässiga chocken är standardavvikelsen "s" multiplicerad med ett slumpmässigt tal "e." Detta är helt enkelt ett sätt att skala standardavvikelsen.

Det är kärnan i GBM, som illustreras i figur 1. Aktiekursen följer en serie steg, där varje steg är en drift plus eller minus en slumpmässig chock (i sig själv en funktion av aktiens standardavvikelse):

Figur 1

2. Generera slumpmässiga försök

Beväpnad med en modellspecifikation fortsätter vi sedan att genomföra slumpmässiga försök. För att illustrera har vi använt Microsoft Excel för att utföra 40 tester. Tänk på att detta är ett orealistiskt litet urval; de flesta simuleringar eller "sims" kör minst flera tusen försök.

Låt oss i detta fall anta att aktien börjar på dag noll med ett pris på 10 dollar. Här är ett diagram över utfallet där varje tidssteg (eller intervall) är en dag och serien körs i tio dagar (i sammanfattning: fyrtio försök med dagliga steg under tio dagar):

Bild 2: Geometrisk brownisk rörelse

Resultatet är fyrtio simulerade aktiekurser vid slutet av tio dagar. Ingen har fallit till under $ 9 och en är över $ 11.

3. Behandla utgången

Simuleringen gav en fördelning av hypotetiska framtida resultat. Vi kunde göra flera saker med utgången.

Om vi ​​till exempel vill uppskatta VaR med 95% förtroende, behöver vi bara hitta det trettioåttonde rankade utfallet (det tredje värsta utfallet). Det beror på att 2/40 är lika med 5%, så de två värsta resultaten är i de lägsta 5%.

Om vi ​​staplar de illustrerade resultaten i fack (varje fack är en tredjedel av $ 1, så tre fack täcker intervallet från $ 9 till $ 10) får vi följande histogram:

Figur 3

Kom ihåg att vår GBM-modell antar normalitet; prisavkastningen fördelas normalt med förväntad avkastning (medelvärde) "m" och standardavvikelse "s." Intressant nog ser vårt histogram inte normalt ut. I själva verket, med fler prövningar, tenderar det inte mot normalitet. Istället tenderar det mot en lognormal fördelning: ett skarpt fall till vänster om medelvärdet och en mycket skev "lång svans" till höger om medelvärdet.

Detta leder ofta till en potentiellt förvirrande dynamik för första gången:

• Prisavkastningen fördelas normalt.
• Prisnivåerna distribueras normalt.

Tänk på det här sättet: En aktie kan återgå upp eller ner 5% eller 10%, men efter en viss tid kan aktiekursen inte vara negativ. Vidare har prisökningar på uppsidan en sammansatt effekt, medan prisnedgångar på nedsidan minskar basen: tappa 10% och du sitter kvar med mindre att förlora nästa gång.

Här är ett diagram över den lognormala distributionen överlagrade på våra illustrerade antaganden (t.ex. startpris på $ 10):

Figur 4

Poängen

En Monte Carlo-simulering tillämpar en utvald modell (som specificerar beteendet hos ett instrument) på en stor uppsättning slumpmässiga försök i ett försök att producera en rimlig uppsättning möjliga framtida resultat. När det gäller simulering av aktiekurser är den vanligaste modellen geometrisk Brownian motion (GBM). GBM antar att en konstant drift åtföljs av slumpmässiga chocker. Medan periodavkastningen under GBM vanligtvis distribueras, fördelas den därmed följande periodnivån (till exempel tio dagar) prisnivåer lognormalt.