Förstå binomialalternativet Prissättningsmodell

Att enas om korrekt prissättning för alla omsättningsbara tillgångar är utmanande - det är därför aktiekurserna förändras ständigt. I verkligheten ändrar företag knappast sina värderingar dagligen, men deras aktiekurser och värderingar förändras nästan varje sekund. Denna svårighet att uppnå enighet om korrekt prissättning för alla omsättningsbara tillgångar leder till kortlivade arbitrage-möjligheter.

Men en hel del framgångsrika investeringar kommer till en enkel fråga om dagens värdering - vad är rätt nuvarande pris idag för en förväntad framtida vinst?

Binominalalternativvärdering

På en konkurrenskraftig marknad måste tillgångar med identiska utbetalningsstrukturer ha samma pris för att undvika arbitrage-möjligheter. Värdering av optioner har varit en utmanande uppgift och prissättningsvariationer leder till arbitrage-möjligheter. Black-Scholes är fortfarande en av de mest populära modellerna som används för prissättningsalternativ men har begränsningar.

Prismodellen för binomialalternativ är en annan populär metod som används för prissättningsalternativ.

exempel

Antag att det finns ett samtalalternativ på en viss aktie med ett nuvarande marknadspris på $ 100. Alternativet ATM-pengarna (ATM) har ett strejkpris på $ 100 med ett års utgång. Det finns två handlare, Peter och Paula, som båda är överens om att aktiekursen antingen kommer att stiga till $ 110 eller falla till $ 90 på ett år.

De håller med om förväntade prisnivåer under en given tidsram på ett år men håller inte med om sannolikheten för uppåt- eller nedåtgående rörelse. Peter tror att sannolikheten för att aktiens pris går till $ 110 är 60%, medan Paula tror att det är 40%.

Baserat på det, vem skulle vara villig att betala mer pris för samtalet? Kanske Peter, eftersom han förväntar sig en hög sannolikhet för uppåtgående.

Binominalalternativberäkningar

De två tillgångarna, som värderingen beror på, är köpoptionen och den underliggande aktien. Det finns en överenskommelse mellan deltagarna att det underliggande aktiekursen kan flytta från de nuvarande 100 $ till antingen $ 110 eller $ 90 på ett år och att det inte finns några andra kursrörelser möjliga.

I en arbitragefri värld, om du måste skapa en portfölj som består av dessa två tillgångar, köpoption och underliggande aktier, så att oavsett vart det underliggande priset går - $ 110 eller $ 90 - förblir nettoavkastningen på portföljen alltid densamma . Anta att du köper "d" aktier av underliggande och kort en samtalalternativ för att skapa denna portfölj.

Om priset går till $ 110, kommer dina aktier att vara värda $ 110 * d, och du kommer att förlora 10 $ på kortutbetalningen. Nettopriset för din portfölj är (110d - 10).

Om priset sjunker till $ 90 kommer dina aktier att vara värda $ 90 * d, och optionen kommer att upphöra värdelöst. Nettopriset för din portfölj är (90d).

Om du vill att din portföljs värde ska förbli detsamma oavsett vart det underliggande aktiekursen går, bör ditt portföljvärde förbli detsamma i båda fallen:

h (d) −m = l (d) där: h = Högsta möjliga underliggande prissättning = Antal underliggande aktierm = Förlorade pengar på kortöverföring = Lägsta möjliga underliggande pris \ börja {justerad} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {var:} \\ & h = \ text {Högsta möjliga underliggande pris} \\ & d = \ text {Antal underliggande aktier} \\ & m = \ text {Pengar förlorade vid kort utbetalning} \\ & l = \ text {Lägsta möjliga underliggande pris} \\ \ end {inriktad} h (d) −m = l (d) där: h = Högsta möjliga underliggande pris = Antal underliggande aktierm = Förlorade pengar på kort samtal payoffl = Lägsta möjliga underliggande pris

Så om du köper en halv aktie, förutsatt att delköp är möjliga, kommer du att lyckas skapa en portfölj så att dess värde förblir detsamma i båda möjliga tillstånd inom den givna tidsramen för ett år.

110d − 10 = 90dd = 12 \ börja {inriktad} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {inriktad} 110d − 10 = 90dd = 21

Detta portföljvärde, indikerat med (90d) eller (110d - 10) = 45, är ett år på raden. För att beräkna dess nuvärde kan det diskonteras med den riskfria avkastningskravet (förutsatt 5%).

Nuvarande värde = 90d × e (−5% × 1 år) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ börja {inriktat} \ text {Nuvarande värde} & = 90d \ gånger e ^ {(-5 \% \ gånger 1 \ text {År})} \\ & = 45 \ gånger 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ slut {inriktad} Nuvarande värde = 90d × e (−5% × 1 år) = 45 × 0.9523 = 42.85

Eftersom portföljen för närvarande består av ½ andel underliggande aktie (med ett marknadspris på 100 $) och en kort samtal, bör den vara lika med nuvärdet.

12 × 100−1 × Samtalspris = 42, 85 $ Samtalpris = 7, 14 $, dvs samtalspriset för idag \ börja {inriktat} & \ frac {1} {2} \ gånger 100 - 1 \ gånger \ text {Ringpris} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Ringpris} = \ $ 7.14 \ text {, dvs dagens samtalspris} \\ \ slut {inriktad} 21 × 100−1 × Samtal Pris = $ 42.85 Samtal Pris = $ 7.14, dvs. dagens pris

Eftersom detta bygger på antagandet att portföljvärdet förblir detsamma oavsett vilket sätt det underliggande priset går, spelar sannolikheten för en uppåtgående eller nedåtgående rörelse ingen roll. Portföljen förblir riskfri oberoende av de underliggande prisrörelserna.

I båda fallen (antas öka till $ 110 och ner till 90 $) är din portfölj neutral till risken och tjänar den riskfria avkastningen.

Därför skulle både handlarna, Peter och Paula, vara villiga att betala samma $ 7, 14 $ för detta samtal, trots deras olika uppfattningar om sannolikheten för uppåtgående rörelser (60% och 40%). Deras individuellt uppfattade sannolikheter spelar ingen roll i värderingen av optioner.

Antar att istället att de enskilda sannolikheterna spelar roll, kan arbitrage-möjligheter ha presenterat sig. I den verkliga världen finns sådana arbitragemöjligheter med mindre prisskillnader och försvinner på kort sikt.

Men var är den mycket hypade volatiliteten i alla dessa beräkningar, en viktig och känslig faktor som påverkar optionernas prissättning?

Volatiliteten inkluderas redan av beskaffenheten av problemets definition. Förutsatt att två (och bara två - därav namnet “binomial”) tillstånd av prisnivåer ($ 110 och $ 90), är volatilitet implicit i detta antagande och inkluderas automatiskt (10% i båda fallen i detta exempel).

Black-Scholes

Men är denna strategi korrekt och sammanhängande med de vanliga Black-Scholes-priserna? Alternativkalkylatorns resultat (med tillstånd av OIC) matchar nära det beräknade värdet:

Tyvärr är den verkliga världen inte så enkel som "bara två stater." Aktien kan nå flera prisnivåer före utgången.

Är det möjligt att inkludera alla dessa flera nivåer i en binomial prissättningsmodell som är begränsad till endast två nivåer ">

Enkel matematik

För att generalisera detta problem och lösning:

"X" är det aktuella marknadspriset på en aktie och "X * u" och "X * d" är de framtida priserna för uppåt och nedåtgående rörelser "t" år senare. Faktorn "u" kommer att vara större än en eftersom den indikerar en uppåtgående rörelse och "d" ligger mellan noll och en. För ovanstående exempel är u = 1, 1 och d = 0, 9.

Samtalalternativets utbetalningar är "P _upp " och "P _dn " för upp- och nedgående rörelser vid utgången.

Om du bygger en portfölj av "s" aktier som köpts idag och kort en samtalalternativ, sedan "t":

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Portföljens värde vid uppåtgående \ börja {inriktad} & \ text {VUM} = s \ gånger X \ gånger u - P_ \ text {upp} \\ & \ textbf {var:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Portföljets värde vid uppåtgående} \\ \ slut {inriktad} VUM = s × X × u − Pup var: VUM = Värdet på portföljen vid uppåtgående

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Portföljens värde vid nedåtgående \ börja {inriktad} & \ text {VDM} = s \ gånger X \ gånger d - P_ \ text {ned} \\ & \ textbf {var:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Portföljets värde vid nedåtgående rörelse} \\ \ slut {inriktad} VDM = s × X × d − Pdown där: VDM = Värdet på portföljen vid nedgång

För liknande värdering i båda fallen av prisförflyttning:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ gånger X \ gånger u - P_ \ text {up} = s \ gånger X \ gånger d - P_ \ text {down} s × X × u− pup = s × X X d-Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Antalet aktier att köpa för = en riskfri portfölj \ börja {inriktad} s & = \ frac {P_ \ text {upp} - P_ \ text {ned} } {X \ gånger (u - d)} \\ & = \ text {Antalet aktier att köpa för} \\ & \ phantom {=} \ text {en riskfri portfölj} \\ \ end {inriktad} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Antalet aktier att köpa för = en riskfri portfölj

Det framtida värdet på portföljen vid slutet av "t" -år kommer att vara:

I fall av uppåtflytt = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ börja {inriktad} \ text {I fall av uppåtflyttning} & = s \ gånger X \ gånger u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ gånger u - P_ \ text {up} \\ \ end {inriktad} I fall av Uppåt = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

I fall av nedåtgående rörelse = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ börja {inriktad} \ text {I fall av nedåtflyttning} & = s \ gånger X \ gånger d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ gånger d - P_ \ text {down} \\ \ end {inriktad} I fall av Nedåtflytt = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Nuvärdet kan erhållas genom att diskontera det med den riskfria avkastningen:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] där: PV = Dagens värderare = Return of ratet = Tid, i år \ börja {inriktad} & \ text {PV} = e (-rt) \ gånger \ vänster [\ frac {P_ \ text {upp} - P_ \ text {ned}} {u - d} \ gånger u - P_ \ text {upp} \ höger] \\ & \ textbf { där:} \\ & \ text {PV} = \ text {Nuvarande värde} \\ & r = \ text {Avkastning} \\ & t = \ text {Tid, i år} \\ \ slut {inriktad} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] där: PV = nutidsvärderare = returtakt = tid, i år

Detta bör matcha portföljinnehavet av "s" -aktier till X-pris, och kortfristigt värde "c" (dagens innehav av (s * X - c) bör motsvara denna beräkning.) Att lösa för "c" ger det slutligen som:

Obs: Om samtalspremien är förkortad bör det vara ett tillägg till portföljen, inte en subtraktion.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ gånger [(e (-rt) - d) \ gånger P_ \ text {upp} + (u - e (-rt)) \ gånger P_ \ text {ned}] c = u − de (−rt) x [(e (-RT) -d) x Pup + (u-e (-RT)) × Pdown]

Ett annat sätt att skriva ekvationen är genom att ordna om:

Med "q" som:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Då blir ekvationen:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ gånger (q \ gånger P_ \ text {upp} + (1 - q) \ gånger P_ \ text {ned}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Omarrangering av ekvationen i termer av “q” har erbjudit ett nytt perspektiv.

Nu kan du tolka “q” som sannolikheten för att det underliggande går uppåt (eftersom “q” är associerat med P _upp och ”1-q” är associerat med P _dn ). Sammantaget representerar ekvationen dagens optionskurs, det diskonterade värdet på dess utbetalning vid utgången.

Denna "Q" är annorlunda

Hur skiljer sig denna sannolikhet “q” från sannolikheten för en uppåtgående eller nedåtgående rörelse för det underliggande ”>

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Värdet på aktiekurs vid tidpunkt t \ börja {inriktad} & \ text {VSP} = q \ gånger X \ gånger u + (1 - q) \ gånger X \ gånger d \\ & \ textbf {var:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Värdet på aktiekursen vid tidpunkten} t \\ \ end {inriktat} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Värdet på aktiekurs vid tidpunkt t

Genom att ersätta värdet "q" och omarrangera kommer aktiekursen vid tiden "t" att:

Aktiekurs = e (rt) × X \ börja {inriktad} & \ text {Aktiekurs} = e (rt) \ gånger X \\ \ slut {justerad} Aktiekurs = e (rt) × X

I denna antagna värld av tvåstater stiger aktiekursen helt enkelt med den riskfria avkastningen, precis som en riskfri tillgång, och därför förblir det oberoende av någon risk. Investerare är likgiltiga mot risk enligt denna modell, så det utgör den riskneutrala modellen.

Sannolikheten ”q” och ”(1-q)” är kända som riskneutrala sannolikheter och värderingsmetoden kallas den riskneutrala värderingsmodellen.

Exempel scenariot har ett viktigt krav - den framtida betalningsstrukturen krävs med precision (nivå $ 110 och $ 90). I verkligheten är sådan klarhet om stegbaserade prisnivåer inte möjlig; snarare rör sig priset slumpmässigt och kan lösa sig på flera nivåer.

För att utvidga exemplet ytterligare antar du att prisnivåer i två steg är möjliga. Vi känner till det slutliga utbetalningen av det andra steget och vi måste värdera alternativet idag (i det första steget):

Arbeta bakåt, den mellanliggande första stegsvärderingen (vid t = 1) kan göras med slutliga utbetalningar i steg två (t = 2), sedan med hjälp av dessa beräknade värden för första steget (t = 1), dagens värdering (t = 0) kan nås med dessa beräkningar.

För att få optionsprissättning vid nummer två används utbetalningar vid fyra och fem. För att få priser för nummer tre används utbetalningar vid fem och sex. Slutligen används beräknade utbetalningar vid två och tre för att få prissättning vid nummer ett.

Observera att det här exemplet antar samma faktor för upp- och nedåtgående rörelser i båda stegen - u och d tillämpas på ett sammansatt sätt.

Ett fungerande exempel

Antag att en säljoption med ett strejkpris på $ 110 handlas för närvarande till $ 100 och löper ut på ett år. Den årliga riskfria räntan ligger på 5%. Priset förväntas öka med 20% och sjunka med 15% var sjätte månad.

Här är u = 1, 2 och d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

med användning av ovan härledda formel av

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

vi får q = 0, 35802832

värdet på säljoptionen vid punkt 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) där: p = Pris för säljalternativet \ börja {inriktat} & p_2 = e (-rt) \ gånger (p \ gånger P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {var:} \\ & p = \ text {Pris för säljalternativet} \\ \ end {inriktad} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) där: p = Pris för säljoptionen

Vid P _upup- villkor är underliggande = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144 vilket leder till P _upup = noll

Vid P- _{uppdateringsvillkor} är underliggande = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102 vilket leder till P- _uppdatering = $ 8

Vid P _dndn- tillstånd är underliggande = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 $ vilket leder till P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

På liknande sätt p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ gånger (q \ gånger p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) x (q × p2 + (1-q) p3)

Och därmed värdet på säljoptionen, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 355282832) * 26.42958924) = $ 18.29.

På liknande sätt tillåter binomialmodeller dig att bryta hela alternativets varaktighet för att ytterligare förfina flera steg och nivåer. Med hjälp av datorprogram eller kalkylblad kan du arbeta bakåt ett steg i taget för att få nuvärdet för önskat alternativ.

Ett annat exempel

Anta en säljoption av europeisk typ med nio månader att löpa ut, ett strejkpris på $ 12 och ett nuvarande underliggande pris till $ 10. Anta en riskfri ränta på 5% för alla perioder. Antag var tredje månad, det underliggande priset kan flytta 20% upp eller ner, vilket ger oss u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 och ett trestegs binomialt träd.

Rött indikerar underliggande priser, medan blått anger utbetalningen av säljoptioner.

Riskneutral sannolikhet "q" beräknar 0, 531446.

Med hjälp av ovanstående värde på "q" och utbetalningsvärden vid t = nio månader, beräknas motsvarande värden vid t = sex månader som:

Vidare, med användning av dessa beräknade värden vid t = 6, är värdena vid t = 3 sedan vid t = 0:

Det ger det nuvarande värdet av ett försäljningsalternativ som $ 2, 18, ganska nära vad du skulle finna att göra beräkningarna med Black-Scholes-modellen ($ 2, 30).

Poängen

Även om användning av datorprogram kan göra dessa intensiva beräkningar enkla, förblir förutsägelsen om framtida priser en viktig begränsning av binomialmodeller för optionsprissättning. Ju finare tidsintervall, desto svårare blir det att förutsäga utbetalningarna i slutet av varje period med hög nivå på precision.

Flexibiliteten för att införliva de förändringar som förväntas under olika perioder är dock ett plus, vilket gör det lämpligt för prissättning av amerikanska optioner, inklusive värderingar av tidigt utnyttjande.

Värdena som beräknas med binomialmodellen överensstämmer nära med dem som beräknas från andra vanliga modeller som Black-Scholes, vilket indikerar användbarheten och noggrannheten för binomialmodeller för prissättning av alternativ. Binomiala prissättningsmodeller kan utvecklas enligt en näringsidkares preferenser och kan fungera som ett alternativ till Black-Scholes.