Användningar och gränser för flyktighet

Investerare vill fokusera på löften om hög avkastning, men de bör också fråga hur mycket risk de måste ta i utbyte mot dessa avkastningar. Även om vi ofta talar om risker i allmän mening, finns det också formella uttryck för risk-belöningsförhållandet. Till exempel mäter Sharpe-kvoten meravkastning per riskenhet, där risken beräknas som volatilitet, vilket är ett traditionellt och populärt riskmått. Dess statistiska egenskaper är välkända och matas in i flera ramar, såsom modern portföljteori och Black-Scholes-modellen. I den här artikeln undersöker vi volatilitet för att förstå dess användning och dess gränser.

Årlig standardavvikelse
Till skillnad från underförstådd volatilitet - som tillhör optionsprissättningsteorin och är en framtidsinriktad uppskattning baserad på en marknadskonsensus - ser den vanliga volatiliteten bakåt. Specifikt är det den årliga standardavvikelsen för historisk avkastning.

Traditionella riskramar som förlitar sig på standardavvikelse antar i allmänhet att avkastningen överensstämmer med en normal klockformad distribution. Normala fördelningar ger oss praktiska riktlinjer: ungefär två tredjedelar av tiden (68, 3%) bör avkastningen falla inom en standardavvikelse (+/-); och 95% av tiden bör avkastningen falla inom två standardavvikelser. Två egenskaper hos en normalfördelningsgraf är mager "svansar" och perfekt symmetri. Smala svansar innebär en mycket låg förekomst (cirka 0, 3% av tiden) av avkastningar som är mer än tre standardavvikelser från genomsnittet. Symmetri innebär att frekvensen och storleken på uppåtriktade vinster är en spegelbild av nedåtriktade förluster.

SE: Volatilitetens påverkan på marknadens avkastning

Följaktligen behandlar traditionella modeller all osäkerhet som risk, oavsett riktning. Som många har visat är det ett problem om avkastningen inte är symmetrisk - investerare oroar sig för sina förluster "till vänster" i genomsnittet, men de oroar sig inte för vinster till höger om genomsnittet.

Vi illustrerar detta skämt nedan med två fiktiva lager. Den fallande beståndet (blå linje) är helt utan spridning och ger därför en volatilitet på noll, men den stigande bestånden - eftersom den uppvisar flera uppsatta chocker men inte en enda droppe - ger en volatilitet (standardavvikelse) på 10%.

Teoretiska egenskaper
När vi till exempel beräknar volatiliteten för S&P 500-index per 31 januari 2004 kommer vi överallt från 14, 7% till 21, 1%. Varför ett sådant intervall ">

Lägg märke till att volatiliteten ökar när intervallet ökar, men inte nästan i proportion: veckan är inte nästan fem gånger det dagliga beloppet och varje månad är inte nästan fyra gånger varje vecka. Vi har kommit fram till en viktig aspekt av slumpmässig promenadteori: standardavvikelse skalor (ökar) i proportion till tidens kvadratrot. Om den dagliga standardavvikelsen är 1, 1% och om det finns 250 handelsdagar på ett år är den årliga standardavvikelsen den dagliga standardavvikelsen på 1, 1% multiplicerad med kvadratroten av 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . Genom att veta detta kan vi årliggöra intervallstandardavvikelserna för S&P 500 genom att multiplicera med kvadratroten av antalet intervaller på ett år:

En annan teoretisk egenskap av volatilitet kan eller inte överraska dig: den eroderar avkastningen. Detta beror på det viktigaste antagandet av den slumpmässiga promenadtanken: att avkastningen uttrycks i procenttal. Föreställ dig att du börjar med $ 100 och sedan får 10% för att få $ 110. Sedan förlorar du 10%, vilket netto dig $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Sedan får du 10% igen för att netto $ 108, 90 ($ 99 x 110% = $ 108, 9). Slutligen förlorar du 10% till netto 98, 01 $. Det kan vara motintuitivt, men din rektor försvinner långsamt även om din genomsnittliga vinst är 0%!

Om du till exempel förväntar dig en årlig genomsnittlig vinst på 10% per år (dvs. aritmetiskt medelvärde), visar det sig att din förväntade vinst på lång sikt är något mindre än 10% per år. I själva verket kommer den att reduceras med ungefär hälften av variansen (där variansen är standardavvikelsen i kvadrat). I det rena hypotetiska nedan börjar vi med $ 100 och föreställer oss sedan fem års volatilitet för att avsluta med $ 157:

Den genomsnittliga årliga avkastningen under de fem åren var 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), men

(CAGR eller geometrisk retur) är ett mer exakt mått på

, och det var bara 9, 49%. Volatiliteten eroderade resultatet och skillnaden är ungefär hälften av variationen på 1, 1%. Dessa resultat kommer inte från ett historiskt exempel, men med tanke på förväntningar, med tanke på en standardavvikelse från

(variansen är kvadratet för standardavvikelse,

^ 2) och en förväntad genomsnittlig vinst på

, den förväntade årliga avkastningen är ungefär

- (

^ 2 ÷ 2).

Are Returns Well-Behaved "> Nasdaq nedan (cirka 2500 dagliga observationer):

Som ni kan förvänta dig är volatiliteten hos Nasdaq (årlig standardavvikelse 28, 8%) större än volatiliteten för S&P 500 (årlig standardavvikelse 18, 1%). Vi kan se två skillnader mellan normalfördelning och faktisk avkastning. Först har de faktiska avkastningarna högre toppar - vilket innebär en större övervägande avkastning nära genomsnittet. För det andra har faktiska avkastningar fetare svansar. (Våra resultat överensstämmer något med mer omfattande akademiska studier, som också tenderar att hitta höga toppar och feta svansar; den tekniska termen för detta är kurtos). Låt oss säga att vi anser att minus tre standardavvikelser är en stor förlust: S&P 500 upplevde en daglig förlust på minus tre standardavvikelser cirka -3, 4% av tiden. Den normala kurvan förutspår att en sådan förlust skulle inträffa ungefär tre gånger på 10 år, men det hände faktiskt 14 gånger!

Dessa är fördelningar av separata intervallavkastningar, men vad säger teorin om avkastning över tiden "> genomsnittlig årlig avkastning (under de senaste 10 åren) var cirka 10, 6% och, som diskuterat, den årliga volatiliteten var 18, 1%. Här utför vi en hypotetisk rättegång genom att börja med $ 100 och hålla den under 10 år, men vi utsätter investeringarna varje år för ett slumpmässigt resultat som i genomsnitt var 10, 6% med en standardavvikelse på 18, 1%. Denna försök gjordes 500 gånger, vilket gör det till en så kallad Monte Carlo De slutliga prisresultaten för 500 försök visas nedan:

En normalfördelning visas som bakgrund enbart för att belysa de mycket icke-normala prisresultaten. Tekniskt sett är de slutliga prisresultaten lognormala (vilket innebär att om x-axeln konverterades till naturlig log av x, skulle fördelningen se mer normal ut). Poängen är att flera prisresultat är över till höger: av 500 försök gav sex resultat ett slutresultat på 700 dollar! Dessa värdefulla få resultat lyckades tjäna över 20% i genomsnitt varje år över 10 år. På vänster sida, eftersom en minskande balans minskar de kumulativa effekterna av procentuella förluster, fick vi bara en handfull slutresultat som var mindre än $ 50. För att sammanfatta en svår idé kan vi säga att intervallavkastningen - uttryckt i procentuella termer - normalt distribueras, men de slutliga prisutfallet är logg-normalt fördelade.

SE: Multivariate modeller: Monte Carlo-analysen

Slutligen är en annan upptäckt av våra försök i överensstämmelse med "erosionseffekterna" av volatilitet: om din investering tjänade exakt genomsnittet varje år, skulle du ha cirka 273 $ i slutet (10, 6% sammansatt under 10 år). Men i detta experiment var vår totala förväntade vinst närmare 250 $. Med andra ord, den genomsnittliga (aritmetiska) årliga vinsten var 10, 6%, men den kumulativa (geometriska) vinsten var mindre.

Det är viktigt att komma ihåg att vår simulering antar en slumpmässig promenad: den antar att återvändande från en period till nästa är helt oberoende. Vi har inte bevisat det på något sätt, och det är inte ett trivialt antagande. Om du tror att avkastningen följer trender, säger du tekniskt att de visar positiv seriell korrelation. Om du tror att de återgår till medelvärdet säger du tekniskt att de visar negativ seriekorrelation. Inget hållningssätt är förenligt med oberoende.

Poängen
Volatilitet är en årlig standardavvikelse för avkastning. I det traditionella teoretiska ramverket mäter det inte bara risk utan påverkar förväntningarna på långsiktig (flerårs) avkastning. Som sådan ber den oss acceptera de tvivelaktiga antagandena om att intervallåterföringar normalt är fördelade och oberoende. Om dessa antaganden är sanna är hög volatilitet ett dubbelkantigt svärd: det eroderar din förväntade långsiktiga avkastning (det minskar det aritmetiska genomsnittet till det geometriska genomsnittet), men det ger dig också fler chanser att göra några stora vinster.

SE: Implicerad volatilitet: Köp lågt och sälj högt