Använda vanliga metoder för distribuering av lager

Nästan oavsett din åsikt om marknadens förutsägbarhet eller effektivitet, kommer du förmodligen att hålla med om att för de flesta tillgångar är garanterad avkastning osäker eller riskabel. Om vi ​​ignorerar matematiken som ligger till grund för sannolikhetsfördelningar, kan vi se att det är bilder som beskriver en viss syn på osäkerhet. Sannolikfördelningen är en statistisk beräkning som beskriver risken för att en given variabel kommer att falla mellan eller inom ett specifikt område på ett diagram.

Osäkerhet hänvisar till slumpmässighet. Det skiljer sig från bristen på förutsägbarhet eller marknadseffektivitet. En ny forskningsuppfattning anser att finansmarknaderna är både osäkra och förutsägbara. Dessutom kan marknaderna vara effektiva men också osäkra.

När det gäller ekonomi använder vi sannolikhetsfördelningar för att rita bilder som illustrerar vår syn på en tillgångs avkastningskänslighet när vi tror att tillgångens avkastning kan betraktas som en slumpmässig variabel. I den här artikeln går vi igenom några av de mest populära sannolikhetsfördelningarna och visar hur du beräknar dem.

Distributioner kan kategoriseras som antingen diskreta eller kontinuerliga, och huruvida det är en sannolikhetsdensitetsfunktion (PDF) eller en kumulativ distribution.

Diskret kontra kontinuerlig distribution

Diskret avser en slumpmässig variabel som dras från en begränsad uppsättning möjliga resultat. En sexsidig munstycke har till exempel sex separata resultat. En kontinuerlig distribution avser en slumpmässig variabel som dras från en oändlig uppsättning. Exempel på kontinuerliga slumpmässiga variabler inkluderar hastighet, avstånd och vissa tillgångar. En diskret slumpmässig variabel illustreras typiskt med prickar eller streck medan en kontinuerlig variabel illustreras med en solid linje. Figur 1 visar diskreta och kontinuerliga fördelningar för en normalfördelning med ett medelvärde (förväntat värde) på 50 och en standardavvikelse på 10:

Figur 1

Distributionen är ett försök att kartlägga osäkerhet. I detta fall är ett resultat av 50 det mest troliga men kommer bara att hända cirka 4% av tiden; ett resultat på 40 är en standardavvikelse under medelvärdet och det kommer att inträffa knappt 2, 5% av tiden.

Sannolikhetsdensitet kontra kumulativ distribution

Den andra skillnaden är mellan sannolikhetsdensitetsfunktionen (PDF) och den kumulativa fördelningsfunktionen. PDF är sannolikheten för att vår slumpmässiga variabel når ett specifikt värde (eller i fallet med en kontinuerlig variabel att falla mellan ett intervall). Vi visar att genom att indikera sannolikheten för att en slumpmässig variabel X kommer att vara lika med ett verkligt värde x:

P [x = X] \ börja {inriktad} & P [x = X] \\ \ slut {inriktad} P [x = X]

Den kumulativa fördelningen är sannolikheten för att slumpmässig variabel X kommer att vara mindre än eller lika med det verkliga värdet x:

P [x <= X] \ börja {inriktad} & P [x <= X] \\ \ slut {inriktad} P [x <= X]

eller till exempel, om din höjd är en slumpmässig variabel med ett förväntat värde på 5'10 "tum (dina förälders genomsnittliga höjd), så är PDF-frågan" Vad är sannolikheten för att du kommer att nå en höjd av 5'4 "" >

Figur 1 visade två normala fördelningar. Du kan nu se att dessa är PDF-diagram (sannolikhetsdensitetsfunktioner). Om vi ​​plottar exakt samma distribution som en kumulativ distribution, får vi följande:

figur 2

Den kumulativa fördelningen måste så småningom nå 1, 0 eller 100% på y-axeln. Om vi ​​höjer fältet tillräckligt högt, kommer någon gång i stort sett alla utfall att falla under den fältet (vi kan säga att fördelningen vanligtvis är asymptotisk till 1, 0).

Ekonomi, en samhällsvetenskap, är inte lika ren som fysisk vetenskap. Tyngdkraften har till exempel en elegant formel som vi kan vara beroende av om och om igen. Återkoppling av finansiella tillgångar kan å andra sidan inte replikeras så konsekvent. En häpnadsväckande summa pengar har förlorats under åren av smarta människor som förvirrade de exakta fördelningarna (dvs som om de härstammar från fysiska vetenskaper) med den röriga, opålitliga tillnärmningen som försöker visa ekonomisk avkastning. I finanser är sannolikhetsfördelningar lite mer än råa bildrepresentationer.

Jämn fördelning

Den enklaste och mest populära distributionen är den enhetliga fördelningen, där alla resultat har samma chans att uppstå. En sexsidig munstycke har en enhetlig fördelning. Varje utfall har en sannolikhet på cirka 16, 67% (1/6). Vår plot nedan visar den fasta linjen (så att du kan se det bättre), men kom ihåg att det här är en diskret distribution - du kan inte rulla 2.5 eller 2.11:

Figur 3

Rulla nu två tärningar tillsammans, som visas i figur 4, och fördelningen är inte längre enhetlig. Den toppar vid sju, vilket råkar ha en 16, 67% chans. I det här fallet är alla andra resultat mindre troliga:

Figur 4

Rulla nu tre tärningar ihop, som visas i figur 5. Vi börjar se effekterna av ett mest fantastiskt teorem: den centrala gränssatsen. Den centrala gränssteoremet lovar djärvt att summan eller genomsnittet för en serie oberoende variabler tenderar att bli normalt fördelad, oavsett deras egen distribution . Våra tärningar är individuellt enhetliga men kombinerar dem och - när vi lägger till fler tärningar - tenderar nästan magiskt deras summa mot den välkända normalfördelningen.

Figur 5

Binomial distribution

Binomialfördelningen återspeglar en serie "antingen / eller" försök, till exempel en serie myntkast. Dessa kallas Bernoulli-försök - som avser händelser som endast har två resultat - men du behöver inte ens (50/50) odds. Binomialfördelningen nedan visar en serie av 10 myntkast, varvid sannolikheten för huvuden är 50% (p-0, 5). Du kan se i figur 6 att chansen att vända exakt fem huvud och fem svansar (ordning spelar ingen roll) bara är blyg för 25%:

Figur 6

Om binomialfördelningen ser normal ut för dig har du rätt i det. När antalet försök ökar, tenderar binomialen mot normalfördelningen.

Lognormal distribution

Den lognormala distributionen är mycket viktig inom finansieringen eftersom många av de mest populära modellerna antar att aktiekurserna distribueras lognormalt. Det är lätt att förväxla tillgångsavkastning med prisnivåer.

Avkastning på tillgångar behandlas ofta som normalt - en aktie kan gå upp 10% eller ned 10%. Prisnivåerna behandlas ofta som lognormala - en $ 10-aktie kan gå upp till $ 30 men den kan inte gå ner till - $ 10. Den lognormala fördelningen är icke-noll och sned åt höger (återigen, en bestånd kan inte falla under noll men den har ingen teoretisk uppgräns):

Figur 7

poisson

Poisson-distributionen används för att beskriva oddsen för en viss händelse (t.ex. en daglig portföljförlust under 5%) som inträffar över ett tidsintervall. Så i exemplet nedan antar vi att någon operativ process har en felfrekvens på 3%. Vi antar vidare 100 slumpmässiga försök; Poisson-distributionen beskriver sannolikheten för att få ett visst antal fel under en viss tid, till exempel en enda dag.

Figur 8

Studentens T

Studentens T-distribution är också mycket populär eftersom den har en något "fetare svans" än normalfördelningen. Studentens T används vanligtvis när vår provstorlek är liten (dvs. mindre än 30). När det gäller finansiering representerar den vänstra svansen förlusterna. Därför, om provstorleken är liten vågar vi underskatta oddsen för en stor förlust. Den fetare svansen på studentens T kommer att hjälpa oss här. Trots det händer det att den här distributionens fett svans ofta inte är fett nog. Finansiell avkastning tenderar att, vid sällsynta katastrofala tillfällen, verkligen förlora fettsvans (dvs fetare än vad som förutses av distributionerna). Stora summor pengar har tappats för att göra detta.

Figur 9

Betadistribution

Slutligen är betadistributionen (inte att förväxla med beta-parametern i prissättningsmodellen för kapitalförmögenheter) populär bland modeller som uppskattar återhämtningsgraden på obligationsportföljer. Betadistributionen är verktygsspelaren för distributioner. Liksom det normala behöver det bara två parametrar (alfa och beta), men de kan kombineras för anmärkningsvärd flexibilitet. Fyra möjliga beta-fördelningar illustreras i figur 10 nedan:

Figur 10

Poängen

Som så många skor i vår statistiska skoskåp försöker vi välja den bästa passformen för tillfället, men vi vet inte riktigt vad vädret håller för oss. Vi kan välja en normalfördelning och sedan ta reda på att det underskattas förlust av vänster svans; så vi byter till en sned fördelning, bara för att uppgifterna ser mer "normal" ut nästa period. Den eleganta matematiken under kan förföra dig att tro att dessa fördelningar avslöjar en djupare sanning, men det är mer troligt att det är bara mänskliga artefakter. Till exempel är alla distributioner vi granskade ganska smidiga, men vissa tillgångar returnerar diskontinuerligt.

Normaldistributionen är allmänt och elegant och den kräver bara två parametrar (medelvärde och distribution). Många andra fördelningar konvergerar mot det normala (t.ex. binomial och Poisson). Många situationer, som hedgefondens avkastning, kreditportföljer och allvarliga förlusthändelser, förtjänar emellertid inte de normala fördelningarna.