Att bryta ner den binomiala modellen för att värdera ett alternativ

I finansvärlden är Black-Scholes och värderingsmodellerna för binomialalternativ två av de viktigaste begreppen i modern finansiell teori. Båda används för att värdera ett alternativ, och var och en har sina egna fördelar och nackdelar.

Några av de grundläggande fördelarna med att använda binomialmodellen är:

• en vy med flera perioder
• genomskinlighet
• förmåga att införliva sannolikheter

I den här artikeln ska vi undersöka fördelarna med att använda den binomiala modellen istället för Black-Scholes-modellen och ge några grundläggande steg för att utveckla modellen och förklara hur den används.

Visning för flera perioder

Binomialmodellen ger en översikt över flera år av det underliggande tillgångspriset och priset på optionen. Till skillnad från Black-Scholes-modellen, som ger ett numeriskt resultat baserat på ingångar, möjliggör den binomiala modellen beräkningen av tillgången och alternativet för flera perioder tillsammans med intervallet med möjliga resultat för varje period (se nedan).

Fördelen med denna flerperiodsvy är att användaren kan visualisera förändringen i tillgångspriset från period till period och utvärdera alternativet baserat på beslut som fattats vid olika tidpunkter. För ett USA-baserat alternativ, som kan utnyttjas när som helst före utgångsdatumet, kan den binomiala modellen ge insikt om när utövandet av alternativet kan vara tillrådligt och när det bör hållas under längre perioder. Genom att titta på värdenas binomialträd kan en näringsidkare i förväg avgöra när ett beslut om en övning kan inträffa. Om alternativet har ett positivt värde finns det möjlighet att utöva medan alternativet har ett värde som är mindre än noll, det bör hållas under längre perioder.

Genomskinlighet

Nära besläktad med översynen över flera perioder är förmågan hos binomialmodellen att ge insyn i tillgångens underliggande värde och alternativet när tiden går. Black-Scholes-modellen har fem ingångar:

1. Den riskfria räntan
2. Träningspriset
3. Tillgångens nuvarande pris
4. Tid till mognad
5. Den implicita volatiliteten i tillgångspriset

När dessa datapunkter införs i en Black-Scholes-modell, beräknar modellen ett värde för alternativet, men effekterna av dessa faktorer avslöjas inte från period till period. Med binomialmodellen kan en näringsidkare se förändringen i det underliggande tillgångspriset från period till period och motsvarande förändring i optionskursen.

Inkorporera sannolikheter

Den grundläggande metoden för att beräkna binomialalternativsmodellen är att använda samma sannolikhet varje period för framgång och misslyckande tills alternativet löper ut. Emellertid kan en handlare innehålla olika sannolikheter för varje period baserat på ny information som erhålls när tiden går.

Till exempel kan det finnas en 50/50 chans att det underliggande tillgångspriset kan öka eller minska med 30 procent under en period. För den andra perioden kan dock sannolikheten för att det underliggande tillgångspriset stiga till 70/30. Till exempel, om en investerare utvärderar en oljebrunn är den investeraren inte säker på vad värdet på den oljebrunnen är, men det finns en chans på 50/50 att priset kommer att gå upp. Om oljepriserna stiger under period 1, vilket gör oljan väl värdefullare och marknadsundersökningarna nu pekar på fortsatt ökade oljepriser, kan sannolikheten för ytterligare prisökning nu vara 70 procent. Binomialmodellen möjliggör denna flexibilitet; Black-Scholes-modellen gör det inte.

Utveckla modellen

Den enklaste binomialmodellen har två förväntade avkastningar vars sannolikhet uppgår till 100 procent. I vårt exempel finns det två möjliga resultat för oljebrunnen vid varje tidpunkt. En mer komplex version kan ha tre eller flera olika utfall, som var och en ges en sannolikhet att uppstå.

För att beräkna avkastningen per period som börjar från tiden noll (nu) måste vi göra en bestämning av värdet på den underliggande tillgången en period från och med nu. I det här exemplet antar vi följande:

• Pris på underliggande tillgång (P): 500 $
• Köpoptionsutnyttjandepris (K): $ 600
• Periodens riskfria ränta: 1 procent
• Prisförändring varje period: 30 procent upp eller ner

Priset på den underliggande tillgången är $ 500 och under period 1 kan den antingen vara värd $ 650 eller $ 350. Det skulle motsvara en ökning eller minskning med 30 procent under en period. Eftersom utnyttjandepriset för de samtaloptioner som vi har är $ 600, om den underliggande tillgången hamnar under $ 600, skulle värdet på samtalsoptionen vara noll. Å andra sidan, om den underliggande tillgången överstiger lösenpriset på $ 600, skulle värdet på calloptionen vara skillnaden mellan priset på den underliggande tillgången och lösenpriset. Formeln för denna beräkning är [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] där: P = Pris på underliggande tillgångK = Kursoptionsutövningspris \ börja {inriktad} & \ max {\ vänster [\ vänster (PK \ höger), 0 \ höger]} \ \ \\ & \ textbf {var:} \\ & P = \ text {Pris på underliggande tillgång} \\ & K = \ text {Samtalets utövningspris} \\ \ slut {inriktat} max [(P − K), 0] där: P = Pris på underliggande tillgångK = Köpoptionsutnyttjandepris

Antag att det är 50 procents chans att gå upp och 50 procent chans att gå ner. Med hjälp av period 1-värdena som ett exempel beräknas detta som

max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0.5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25 \ börja {inriktad} & \ max {\ vänster [\ vänster (\ $ 650 - \ $ 600 \ höger), 0 \ höger]} * 0.5+ \ max {\ vänster [\ vänster (\ $ 350 - \ $ 600 \ höger), 0 \ höger]} * 0.5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {inriktad} max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25

För att få det aktuella värdet på samtalsalternativet måste vi rabattera $ 25 i period 1 tillbaka till period 0, vilket är

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ vänster (1 + 1 \% \ höger) = \ $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75

Du kan nu se att om sannolikheterna ändras kommer det förväntade värdet på den underliggande tillgången också att förändras. Om sannolikheten bör ändras kan den också ändras för varje efterföljande period och behöver inte nödvändigtvis förbli densamma hela tiden.

Binomialmodellen kan enkelt förlängas till flera perioder. Även om Black-Scholes-modellen kan beräkna resultatet av ett utökat utgångsdatum, utvidgar binomialmodellen beslutspunkterna till flera perioder.

Användningar för den binomiala modellen

Förutom att den används som metod för att beräkna värdet på ett alternativ, kan binomialmodellen också användas för projekt eller investeringar med hög osäkerhetsnivå, beslut om kapitalbudgetering och resursallokering och projekt med flera perioder eller en inbäddat alternativ att antingen fortsätta eller överge projektet vid vissa tidpunkter.

Ett enkelt exempel är ett projekt som innebär borrning efter olja. Osäkerheten i denna typ av projekt om marken som borras har någon olja alls, mängden olja som kan borras, om olja hittas och priset till vilket oljan kan säljas när den utvinns.

Binomialalternativsmodellen kan hjälpa till att fatta beslut vid varje punkt i oljeborrprojektet. Antag till exempel att vi bestämmer oss för att borra, men oljebrunnen kommer bara att vara lönsam om vi finner tillräckligt med olja och priset på olja överstiger ett visst belopp. Det kommer att ta en hel period att bestämma hur mycket olja vi kan utvinna samt priset på olja vid den tidpunkten. Efter den första perioden (till exempel ett år) kan vi på grundval av dessa två datapunkter besluta om vi ska fortsätta att borra eller överge projektet. Dessa beslut kan tas kontinuerligt tills en punkt uppnås där det inte finns något värde för borrning, vid vilken tidpunkt brunnen kommer att överges.

Poängen

Den binomiala modellen ger en mer detaljerad vy genom att tillåta flerperiodsvyer av det underliggande tillgångspriset och priset på optionen för flera perioder samt intervallet av möjliga resultat för varje period. Medan både Black-Scholes-modellen och den binomiala modellen kan användas för att värdera alternativ, har binomialmodellen ett bredare program, är mer intuitivt och är lättare att använda.