Förstå pengarnas tidsvärde

Grattis !!! Du har vunnit ett kontantpris! Du har två betalningsalternativ: A: Få 10.000 $ nu eller B: Få 10.000 $ på tre år. Vilket alternativ skulle du välja?

Vad är tidsvärdet på pengar?

Om du är som de flesta skulle du välja att ta emot $ 10.000 nu. Trots allt är tre år en lång tid att vänta. Varför skulle någon rationell person skjuta upp betalningen till framtiden när han eller hon kan ha samma summa pengar nu? För de flesta av oss är det bara instinktivt att ta pengarna i nuet. Så på den mest grundläggande nivån visar tidvärdet på pengar att allt är lika, det verkar bättre att ha pengar nu snarare än senare.

Men varför är det här? En räkning på $ 100 har samma värde som en $ 100-räkning ett år från och med nu, eller hur? Även om fakturan är densamma kan du faktiskt göra mycket mer med pengarna om du har det nu eftersom du med tiden kan tjäna mer ränta på dina pengar.

Tillbaka till vårt exempel: Genom att ta emot 10 000 dollar idag är du beredd att öka det framtida värdet på dina pengar genom att investera och vinna ränta under en tid. För alternativ B har du inte tid på din sida och betalningen på tre år skulle vara ditt framtida värde. För att illustrera har vi tillhandahållit en tidslinje:

Om du väljer alternativ A kommer ditt framtida värde att vara 10 000 USD plus eventuellt förvärvat ränta under de tre åren. Det framtida värdet för alternativ B skulle å andra sidan bara vara 10 000 dollar. Så hur kan du beräkna exakt hur mycket mer alternativ A är värt, jämfört med alternativ B? Låt oss ta en titt.

Framtida värdegrunder

Om du väljer alternativ A och investerar det totala beloppet till en enkel årlig ränta på 4, 5%, är det framtida värdet på din investering i slutet av det första året 10 450 dollar. Vi når fram till denna summa genom att multiplicera huvudbeloppet på 10.000 dollar med en räntesats på 4, 5% och sedan lägga till räntan till huvudbeloppet:

10.000 $ × 0.045 = $ 450 \ börja {inriktad} & \ $ 10.000 \ gånger 0.045 = \ $ 450 \\ \ slut {inriktad} $ 10.000 × 0.045 = $ 450

$ 450 + $ 10.000 = $ 10.450 \ börja {inriktad} & \ $ 450 + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ \ slut {inriktad} $ 450 + $ 10.000 = $ 10.450

Du kan också beräkna det totala beloppet för ett års investering med en enkel manipulering av ovanstående ekvation:

OE = ($ 10.000 × 0.045) + $ 10.000 = $ 10.450 var: OE = Originalekvation \ börja {inriktad} & \ text {OE} = (\ $ 10.000 \ gånger 0.045) + \ $ 10.000 = \ $ 10.450 \\ & \ textbf {där :} \\ & \ text {OE} = \ text {Originalekvation} \\ \ slut {inriktad} OE = ($ 10.000 × 0.045) + $ 10.000 = $ 10.450 var: OE = Originalekvation

Manipulation = $ 10.000 × [(1 × 0.045) +1] = $ 10.450 \ börja {inriktad} & \ text {Manipulation} = \ $ 10.000 \ gånger [(1 \ gånger 0.045) + 1] = \ $ 10.450 \\ \ slut { linje} Manipulation = $ 10 tusen x [(1 x 0, 045) 1] = $ 10.450

Slutlig ekvation = $ 10.000 × (0.045 + 1) = $ 10.450 \ börja {inriktad} & \ text {Slutlig ekvation} = \ $ 10.000 \ gånger (0.045 + 1) = \ $ 10.450 \\ \ end {inriktad} Slutlig ekvation = $ 10.000 × (0, 045 + 1) = $ 10.450

Den manipulerade ekvationen ovan är helt enkelt en borttagning av den likadana variabeln 10 000 $ (huvudbeloppet) genom att dela hela den ursprungliga ekvationen med 10 000 $.

Om de 10 450 dollar som finns kvar på ditt investeringskonto i slutet av det första året lämnas orörda och du investerade på 4, 5% för ytterligare ett år, hur mycket skulle du ha? För att beräkna detta skulle du ta $ 10.450 och multiplicera det igen med 1.045 (0.045 +1). I slutet av två år skulle du ha 10 920, 25 $.

Beräkning av framtida värde

Ovanstående beräkning är då ekvivalent med följande ekvation:

Framtidsvärde = 10 000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ börja {inriktad} & \ text {Framtidsvärde} = \ $ 10 000 \ gånger (1 + 0, 045) \ gånger (1 + 0, 045) \\ \ slut {inriktad} Framtidsvärde = 10 000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Tänk tillbaka på matematiksklassen och exponentens regel, som säger att multiplikationen av liknande termer motsvarar att lägga till deras exponenter. I ovanstående ekvation är de två liknande termerna (1+ 0, 045), och exponenten på var och en är lika med 1. Därför kan ekvationen representeras som följande:

Framtidsvärde = 10.000 $ × (1 + 0.045) 2 \ börja {inriktad} & \ text {Framtidsvärde} = \ $ 10.000 \ gånger (1 + 0.045) ^ 2 \\ \ slut {inriktad} Framtidsvärde = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 2

Vi kan se att exponenten är lika med antalet år för vilka pengarna tjänar ränta för en investering. Så, ekvationen för beräkning av det treåriga framtida värdet på investeringen skulle se ut så här:

Framtidsvärde = 10.000 $ × (1 + 0.045) 3 \ börja {inriktad} & \ text {Framtidsvärde} = \ $ 10.000 \ gånger (1 + 0.045) ^ 3 \\ \ slut {inriktad} Framtidsvärde = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 3

Vi behöver dock inte fortsätta beräkna det framtida värdet efter det första året, det andra året, det tredje året och så vidare. Du kan räkna med allt på en gång, så att säga. Om du vet hur mycket pengar du har i en investering, avkastningsgraden och hur många år du vill ha den investeringen kan du beräkna det framtida värdet (FV) för det beloppet. Det är gjort med ekvationen:

FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Framtida värdePV = Nuvärdet (originalbeloppet) i = Räntesats per periodn = Antal perioder \ börja {inriktad} & \ text {FV} = \ text { PV} \ gånger (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {där:} \\ & \ text {FV} = \ text {Framtidsvärde} \\ & \ text {PV} = \ text {Nuvarande värde ( originalbelopp)} \\ & i = \ text {Ränta per period} \\ & n = \ text {Antal perioder} \\ \ end {inriktad} FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Framtida värdePV = Nuvärdet (originalbeloppet) i = Räntesats per periodn = Antal perioder

Grunderna för nuvärdet

Om du fick 10 000 dollar idag skulle naturligtvis dess nuvärde naturligtvis vara 10 000 dollar eftersom nuvärdet är vad din investering ger dig nu om du skulle spendera den idag. Om du skulle få 10 000 USD på ett år skulle nuvärdet på beloppet inte vara 10 000 USD eftersom du inte har det i din hand nu, i nuet.

För att hitta nuvärdet på de 10 000 $ du kommer att få i framtiden måste du låtsas att 10 000 $ är det totala framtida värdet på ett belopp som du investerade i dag. Med andra ord, för att hitta nuvärdet för de framtida 10 000 $, måste vi ta reda på hur mycket vi skulle behöva investera i dag för att få de 10 000 $ på ett år.

För att beräkna nuvärdet, eller det belopp som vi skulle behöva investera idag, måste du subtrahera den (hypotetiska) ackumulerade räntan från $ 10.000. För att uppnå detta kan vi diskontera det framtida betalningsbeloppet (10 000 USD) med periodens ränta. I allt väsentligt, allt du gör är att ordna om den framtida värdekvationen ovan så att du kan lösa för nuvärdet (PV). Ovanstående framtida värdeekvation kan skrivas om enligt följande:

PV = FV (1 + i) n \ börja {inriktad} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {inriktad} PV = (1 + i) NFV

En alternativ ekvation skulle vara:

PV = FV × (1 + i) −när: PV = Nuvärdet (originalbeloppet) FV = Framtidsvärde = Ränta per periodn = Antal perioder \ börja {inriktat} & \ text {PV} = \ text {FV} \ gånger (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {var:} \\ & \ text {PV} = \ text {Nuvarande värde (originalbelopp)} \\ & \ text {FV} = \ text {Framtidsvärde} \\ & i = \ text {Ränta per period} \\ & n = \ text {Antal perioder} \\ \ slut {inriktad} PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = Nuvärdet (originalbeloppet) FV = Framtida värde = Räntesats per periodn = Antal perioder

Beräkning av nuvärdet

Låt oss gå bakåt från de 10 000 $ som erbjuds i Alternativ B. Kom ihåg att de 10 000 $ som ska tas emot på tre år är verkligen samma som det framtida värdet på en investering. Om vi ​​hade ett år att gå innan vi fick pengarna skulle vi rabattera betalningen tillbaka ett år. Genom att använda vår nuvärdeformel (version 2), vid det nuvarande tvåårsmärket, skulle nuvärdet för $ 10.000 som ska tas emot under ett år vara $ 10.000 x (1 + .045) ^-1 = $ 9569.38.

Observera att om vi idag hade ett års varumärke, skulle de ovan nämnda 9 569, 38 dollarna betraktas som det framtida värdet på vår investering ett år från och med nu.

Fortsätter vi, i slutet av det första året, förväntar vi oss att få betalningen på $ 10.000 på två år. Vid en ränta på 4, 5% skulle beräkningen för nuvärdet av en 10.000 $ betalning som förväntas på två år vara 10.000 $ x (1 + .045) ^-2 = $ 9157.30.

På grund av exponenternas regel behöver vi naturligtvis inte beräkna det framtida värdet på investeringen varje år räknas tillbaka från $ 10.000-investeringen under det tredje året. Vi kan sätta ekvationen mer kortfattat och använda $ 10.000 som FV. Så här kan du beräkna dagens nuvärde på de 10 000 dollar som förväntas från en treårig investering som tjänar 4, 5%:

$ 8, 762, 97 = $ 10 000 × (1 + .045) −3 \ börja {inriktad} & \ $ 8, 762.97 = \ $ 10 000 \ gånger (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ end {inriktad} $ 8, 762.97 = $ 10 000 × ( 1 + 0, 045) -3

Så nuvärdet av en framtida betalning på $ 10.000 är värt $ 8 762, 97 idag om räntorna är 4, 5% per år. Med andra ord, att välja alternativ B är som att ta 8 762, 97 $ nu och sedan investera det i tre år. Ekvationerna ovan illustrerar att alternativ A är bättre, inte bara för att det ger dig pengar just nu utan för att det erbjuder dig $ 1, 237, 03 ($ 10 000 - $ 8, 762, 97) mer kontant! Dessutom, om du investerar de 10 000 $ som du får från alternativ A ger ditt val dig ett framtida värde som är 1 411, 66 $ (11 411, 66 $ - 10 000 $) högre än det framtida värdet för alternativ B.

Nuvärdet av en framtida betalning

Låt oss höja ante på vårt erbjudande. Vad händer om den framtida betalningen är mer än det belopp du skulle få direkt? Säg att du kan få antingen $ 15 000 idag eller $ 18 000 på fyra år. Beslutet är nu svårare. Om du väljer att ta emot 15 000 USD idag och investera hela beloppet, kan du faktiskt hamna med ett belopp på fyra år som är mindre än 18 000 USD.

Hur bestämmer jag? Du kan hitta det framtida värdet på $ 15 000, men eftersom vi alltid lever i nuet, låt oss hitta nuvärdet på $ 18.000. Den här gången antar vi att räntorna för närvarande är 4%. Kom ihåg att ekvationen för nuvärdet är följande:

PV = FV × (1 + i) −n \ börja {inriktad} & \ text {PV} = \ text {FV} \ gånger (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {inriktad} PV = FV × (1 + i) -n

I ekvationen ovan, allt vi gör är att diskontera det framtida värdet på en investering. Med hjälp av siffrorna ovan beräknas nuvärdet av en $ 18.000 betalning på fyra år som $ 18.000 x (1 + 0, 04) ^-4 = $ 15 386, 48.

Från ovanstående beräkning vet vi nu att vårt val idag är mellan att välja $ 15 000 eller $ 15 386, 48. Naturligtvis bör vi välja att skjuta upp betalningen i fyra år!

Poängen

Dessa beräkningar visar att tiden bokstavligen är pengar - värdet på de pengar du har nu är inte detsamma som det kommer att vara i framtiden och vice versa. Så det är viktigt att veta hur man beräknar tidsvärdet på pengar så att du kan skilja mellan värdet av investeringar som erbjuder dig avkastning vid olika tidpunkter. (För relaterad läsning, se "Time Value of Money and the Dollar")